حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = 8 e^{- 5 x} - x^{2}$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = (8 e^{- 5 x} - x^{2}) d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int 8 e^{- 5 x} - x^{2} d x$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int 8 e^{- 5 x} - x^{2} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$y + C_{1} = \int 8 e^{- 5 x} d x + \int - x^{2} d x$

خطوة 2.3.2

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $8$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = 8 \int e^{- 5 x} d x + \int - x^{2} d x$

خطوة 2.3.3

لنفترض أن $u = - 5 x$ . إذن $d u = - 5 d x$ ، لذا $- \frac{1}{5} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

افترض أن $u = - 5 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1.1

أوجِد مشتقة $- 5 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 x]$

خطوة 2.3.3.1.2

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 5 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.3.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 5 \cdot 1$

خطوة 2.3.3.1.4

اضرب $- 5$ في $1$ .

$- 5$

خطوة 2.3.3.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$y + C_{1} = 8 \int e^{u} \frac{1}{- 5} d u + \int - x^{2} d x$

خطوة 2.3.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y + C_{1} = 8 \int e^{u} (- \frac{1}{5}) d u + \int - x^{2} d x$

خطوة 2.3.4.2

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{5}$ .

$y + C_{1} = 8 \int - \frac{e^{u}}{5} d u + \int - x^{2} d x$

خطوة 2.3.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = 8 (- \int \frac{e^{u}}{5} d u) + \int - x^{2} d x$

خطوة 2.3.6

اضرب $- 1$ في $8$ .

$y + C_{1} = - 8 \int \frac{e^{u}}{5} d u + \int - x^{2} d x$

خطوة 2.3.7

بما أن $\frac{1}{5}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{5}$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = - 8 (\frac{1}{5} \int e^{u} d u) + \int - x^{2} d x$

خطوة 2.3.8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.8.1

اجمع $\frac{1}{5}$ و $- 8$ .

$y + C_{1} = \frac{- 8}{5} \int e^{u} d u + \int - x^{2} d x$

خطوة 2.3.8.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y + C_{1} = - \frac{8}{5} \int e^{u} d u + \int - x^{2} d x$

خطوة 2.3.9

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$y + C_{1} = - \frac{8}{5} (e^{u} + C_{2}) + \int - x^{2} d x$

خطوة 2.3.10

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = - \frac{8}{5} (e^{u} + C_{2}) - \int x^{2} d x$

خطوة 2.3.11

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = - \frac{8}{5} (e^{u} + C_{2}) - (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3})$

خطوة 2.3.12

بسّط.

$y + C_{1} = - \frac{8}{5} e^{u} - \frac{1}{3} x^{3} + C_{4}$

خطوة 2.3.13

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- 5 x$ .

$y + C_{1} = - \frac{8}{5} e^{- 5 x} - \frac{1}{3} x^{3} + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$y = - \frac{8}{5} e^{- 5 x} - \frac{1}{3} x^{3} + K$