حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$2 \frac{d y}{d x} - 10 x y - 5 x = 0$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد قيمة $\frac{d y}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d y}{d x}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

أضف $10 x y$ إلى كلا المتعادلين.

$2 \frac{d y}{d x} - 5 x = 10 x y$

خطوة 1.1.1.2

أضف $5 x$ إلى كلا المتعادلين.

$2 \frac{d y}{d x} = 10 x y + 5 x$

خطوة 1.1.2

اقسِم كل حد في $2 \frac{d y}{d x} = 10 x y + 5 x$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

اقسِم كل حد في $2 \frac{d y}{d x} = 10 x y + 5 x$ على $2$ .

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} = \frac{10 x y}{2} + \frac{5 x}{2}$

خطوة 1.1.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} = \frac{10 x y}{2} + \frac{5 x}{2}$

خطوة 1.1.2.2.1.2

اقسِم $\frac{d y}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{10 x y}{2} + \frac{5 x}{2}$

خطوة 1.1.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $10$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.1.1

أخرِج العامل $2$ من $10 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (5 x y)}{2} + \frac{5 x}{2}$

خطوة 1.1.2.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (5 x y)}{2 (1)} + \frac{5 x}{2}$

خطوة 1.1.2.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (5 x y)}{2 \cdot 1} + \frac{5 x}{2}$

خطوة 1.1.2.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 x y}{1} + \frac{5 x}{2}$

خطوة 1.1.2.3.1.2.4

اقسِم $5 x y$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} = 5 x y + \frac{5 x}{2}$

خطوة 1.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أخرِج العامل $5 x$ من $5 x y + \frac{5 x}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

أخرِج العامل $5 x$ من $5 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = 5 x (y) + \frac{5 x}{2}$

خطوة 1.2.1.2

أخرِج العامل $5 x$ من $\frac{5 x}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = 5 x (y) + 5 x \frac{1}{2}$

خطوة 1.2.1.3

أخرِج العامل $5 x$ من $5 x (y) + 5 x \frac{1}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = 5 x (y + \frac{1}{2})$

خطوة 1.2.2

لكتابة $y$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = 5 x (y \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2})$

خطوة 1.2.3

اجمع $y$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = 5 x (\frac{y \cdot 2}{2} + \frac{1}{2})$

خطوة 1.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d y}{d x} = 5 x \frac{y \cdot 2 + 1}{2}$

خطوة 1.2.5

انقُل $2$ إلى يسار $y$ .

$\frac{d y}{d x} = 5 x \frac{2 y + 1}{2}$

خطوة 1.2.6

اجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.1

اجمع $5$ و $\frac{2 y + 1}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{5 (2 y + 1)}{2}$

خطوة 1.2.6.2

اجمع $x$ و $\frac{5 (2 y + 1)}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (5 (2 y + 1))}{2}$

خطوة 1.2.7

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 5 (2 y + 1)}{2}$

خطوة 1.2.8

انقُل $5$ إلى يسار $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 \cdot x (2 y + 1)}{2}$

خطوة 1.2.9

اضرب $5$ في $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 x (2 y + 1)}{2}$

خطوة 1.3

أعِد تجميع العوامل.

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 x}{2} (2 y + 1)$

خطوة 1.4

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{2 y + 1}$ .

$\frac{1}{2 y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y + 1} (\frac{5 x}{2} (2 y + 1))$

خطوة 1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2 y + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

أخرِج العامل $2 y + 1$ من $\frac{5 x}{2} (2 y + 1)$ .

$\frac{1}{2 y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y + 1} ((2 y + 1) \frac{5 x}{2})$

خطوة 1.5.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2 y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y + 1} ((2 y + 1) \frac{5 x}{2})$

خطوة 1.5.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2 y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{5 x}{2}$

خطوة 1.6

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{2 y + 1} d y = \frac{5 x}{2} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{2 y + 1} d y = \int \frac{5 x}{2} d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لنفترض أن $u = 2 y + 1$ . إذن $d u = 2 d y$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

افترض أن $u = 2 y + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.1

أوجِد مشتقة $2 y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [2 y + 1]$

خطوة 2.2.1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 y + 1$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$

خطوة 2.2.1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $2 y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

خطوة 2.2.1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

خطوة 2.2.1.1.3.3

اضرب $2$ في $1$ .

$2 + \frac{d}{d y} [1]$

خطوة 2.2.1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.4.1

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$2 + 0$

خطوة 2.2.1.1.4.2

أضف $2$ و $0$ .

$2$

خطوة 2.2.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int \frac{5 x}{2} d x$

خطوة 2.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

اضرب $\frac{1}{u}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{5 x}{2} d x$

خطوة 2.2.2.2

انقُل $2$ إلى يسار $u$ .

$\int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{5 x}{2} d x$

خطوة 2.2.3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{5 x}{2} d x$

خطوة 2.2.4

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{5 x}{2} d x$

خطوة 2.2.5

بسّط.

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{5 x}{2} d x$

خطوة 2.2.6

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 y + 1$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 1 |) + C_{1} = \int \frac{5 x}{2} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $\frac{5}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{5}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 1 |) + C_{1} = \frac{5}{2} \int x d x$

خطوة 2.3.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 1 |) + C_{1} = \frac{5}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

خطوة 2.3.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

أعِد كتابة $\frac{5}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ بالصيغة $\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 1 |) + C_{1} = \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

خطوة 2.3.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.1

اضرب $\frac{5}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 1 |) + C_{1} = \frac{5}{2 \cdot 2} x^{2} + C_{2}$

خطوة 2.3.3.2.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 1 |) + C_{1} = \frac{5}{4} x^{2} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 1 |) = \frac{5}{4} x^{2} + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كلا المتعادلين في $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 1 |)) = 2 (\frac{5}{4} x^{2} + C)$

خطوة 3.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

بسّط $2 (\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 1 |))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\ln (| 2 y + 1 |)$ .

$2 \frac{\ln (| 2 y + 1 |)}{2} = 2 (\frac{5}{4} x^{2} + C)$

خطوة 3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{\ln (| 2 y + 1 |)}{2} = 2 (\frac{5}{4} x^{2} + C)$

خطوة 3.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\ln (| 2 y + 1 |) = 2 (\frac{5}{4} x^{2} + C)$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

بسّط $2 (\frac{5}{4} x^{2} + C)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

اجمع $\frac{5}{4}$ و $x^{2}$ .

$\ln (| 2 y + 1 |) = 2 (\frac{5 x^{2}}{4} + C)$

خطوة 3.2.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\ln (| 2 y + 1 |) = 2 \frac{5 x^{2}}{4} + 2 C$

خطوة 3.2.2.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.3.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\ln (| 2 y + 1 |) = 2 \frac{5 x^{2}}{2 (2)} + 2 C$

خطوة 3.2.2.1.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\ln (| 2 y + 1 |) = 2 \frac{5 x^{2}}{2 \cdot 2} + 2 C$

خطوة 3.2.2.1.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\ln (| 2 y + 1 |) = \frac{5 x^{2}}{2} + 2 C$

خطوة 3.3

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (| 2 y + 1 |)} = e^{\frac{5 x^{2}}{2} + 2 C}$

خطوة 3.4

أعِد كتابة $\ln (| 2 y + 1 |) = \frac{5 x^{2}}{2} + 2 C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{5 x^{2}}{2} + 2 C} = | 2 y + 1 |$

خطوة 3.5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $| 2 y + 1 | = e^{\frac{5 x^{2}}{2} + 2 C}$ .

$| 2 y + 1 | = e^{\frac{5 x^{2}}{2} + 2 C}$

خطوة 3.5.2

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$2 y + 1 = \pm e^{\frac{5 x^{2}}{2} + 2 C}$

خطوة 3.5.3

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$2 y = \pm e^{\frac{5 x^{2}}{2} + 2 C} - 1$

خطوة 3.5.4

اقسِم كل حد في $2 y = \pm e^{\frac{5 x^{2}}{2} + 2 C} - 1$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.1

اقسِم كل حد في $2 y = \pm e^{\frac{5 x^{2}}{2} + 2 C} - 1$ على $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\pm e^{\frac{5 x^{2}}{2} + 2 C}}{2} + \frac{- 1}{2}$

خطوة 3.5.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\pm e^{\frac{5 x^{2}}{2} + 2 C}}{2} + \frac{- 1}{2}$

خطوة 3.5.4.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{5 x^{2}}{2} + 2 C}}{2} + \frac{- 1}{2}$

خطوة 3.5.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.3.1.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.3.1.1.1

لكتابة $2 C$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{5 x^{2}}{2} + 2 C \cdot \frac{2}{2}}}{2} + \frac{- 1}{2}$

خطوة 3.5.4.3.1.1.2

اجمع $2 C$ و $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{5 x^{2}}{2} + \frac{2 C \cdot 2}{2}}}{2} + \frac{- 1}{2}$

خطوة 3.5.4.3.1.1.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{\pm e^{\frac{5 x^{2} + 2 C \cdot 2}{2}}}{2} + \frac{- 1}{2}$

خطوة 3.5.4.3.1.1.4

اضرب $2$ في $2$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{5 x^{2} + 4 C}{2}}}{2} + \frac{- 1}{2}$

خطوة 3.5.4.3.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = \frac{\pm e^{\frac{5 x^{2} + 4 C}{2}}}{2} - \frac{1}{2}$

خطوة 3.5.4.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{\pm e^{\frac{5 x^{2} + 4 C}{2}} - 1}{2}$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$y = \frac{\pm e^{\frac{5 x^{2} + C}{2}} - 1}{2}$