حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(t + 1) \frac{d y}{d t} + y = \ln (t)$

خطوة 1

تحقق مما إذا كان المتعادل الأيسر هو نتيجة مشتق الحد $(t + 1) y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ هو $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ حيث $f (t) = t + 1$ و $g (t) = y$ .

$(t + 1) \frac{d}{d t} [y] + y \frac{d}{d t} [t + 1]$

خطوة 1.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d t} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$(t + 1) y' + y \frac{d}{d t} [t + 1]$

خطوة 1.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $t + 1$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$(t + 1) y' + y (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1])$

خطوة 1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$(t + 1) y' + y (1 + \frac{d}{d t} [1])$

خطوة 1.5

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$(t + 1) y' + y (1 + 0)$

خطوة 1.6

أضف $1$ و $0$ .

$(t + 1) y' + y \cdot 1$

خطوة 1.7

عوّض بقيمة $y'$ التي تساوي $\frac{d y}{d t}$ .

$(t + 1) \frac{d y}{d t} + y \cdot 1$

خطوة 1.8

أعِد ترتيب $y$ و $1$ .

$(t + 1) \frac{d y}{d t} + 1 \cdot y$

خطوة 1.9

اضرب $y$ في $1$ .

$(t + 1) \frac{d y}{d t} + y$

خطوة 2

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d t} [(t + 1) y] = \ln (t)$

خطوة 3

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d t} [(t + 1) y] d t = \int \ln (t) d t$

خطوة 4

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$(t + 1) y = \int \ln (t) d t$

خطوة 5

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = \ln (t)$ و $d v = 1$ .

$(t + 1) y = \ln (t) t - \int t \frac{1}{t} d t$

خطوة 5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اجمع $t$ و $\frac{1}{t}$ .

$(t + 1) y = \ln (t) t - \int \frac{t}{t} d t$

خطوة 5.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$(t + 1) y = \ln (t) t - \int \frac{t}{t} d t$

خطوة 5.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$(t + 1) y = \ln (t) t - \int d t$

خطوة 5.3

طبّق قاعدة الثابت.

$(t + 1) y = \ln (t) t - (t + C)$

خطوة 5.4

بسّط.

$(t + 1) y = \ln (t) t - t + C$

خطوة 6

اقسِم كل حد في $(t + 1) y = \ln (t) t - t + C$ على $t + 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اقسِم كل حد في $(t + 1) y = \ln (t) t - t + C$ على $t + 1$ .

$\frac{(t + 1) y}{t + 1} = \frac{\ln (t) t}{t + 1} + \frac{- t}{t + 1} + \frac{C}{t + 1}$

خطوة 6.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $t + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(t + 1) y}{t + 1} = \frac{\ln (t) t}{t + 1} + \frac{- t}{t + 1} + \frac{C}{t + 1}$

خطوة 6.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\ln (t) t}{t + 1} + \frac{- t}{t + 1} + \frac{C}{t + 1}$

خطوة 6.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = \frac{\ln (t) t}{t + 1} - \frac{t}{t + 1} + \frac{C}{t + 1}$

خطوة 6.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{\ln (t) t - t}{t + 1} + \frac{C}{t + 1}$

خطوة 6.3.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{\ln (t) t - t + C}{t + 1}$

خطوة 6.3.4

أعِد ترتيب العوامل في $\ln (t) t - t + C$ .

$y = \frac{t \ln (t) - t + C}{t + 1}$