حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x \frac{d y}{d x} + y = \frac{1}{x^{2}}$

خطوة 1

تحقق مما إذا كان المتعادل الأيسر هو نتيجة مشتق الحد $x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

خطوة 1.4

عوّض بقيمة $y'$ التي تساوي $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

خطوة 1.5

أعِد ترتيب $y$ و $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

خطوة 1.6

اضرب $y$ في $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + y$

خطوة 2

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [x y] = \frac{1}{x^{2}}$

خطوة 3

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 4

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$x y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 5

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

انقُل $x^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$x y = \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

خطوة 5.1.2

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x y = \int x^{2 \cdot - 1} d x$

خطوة 5.1.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$x y = \int x^{- 2} d x$

خطوة 5.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- 2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $- x^{- 1}$ .

$x y = - x^{- 1} + C$

خطوة 5.3

أعِد كتابة $- x^{- 1} + C$ بالصيغة $- \frac{1}{x} + C$ .

$x y = - \frac{1}{x} + C$

خطوة 6

اقسِم كل حد في $x y = - \frac{1}{x} + C$ على $x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اقسِم كل حد في $x y = - \frac{1}{x} + C$ على $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{- \frac{1}{x}}{x} + \frac{C}{x}$

خطوة 6.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x y}{x} = \frac{- \frac{1}{x}}{x} + \frac{C}{x}$

خطوة 6.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{- \frac{1}{x}}{x} + \frac{C}{x}$

خطوة 6.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$y = - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} + \frac{C}{x}$

خطوة 6.3.1.2

اضرب $- \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.2.1

اضرب $\frac{1}{x}$ في $\frac{1}{x}$ .

$y = - \frac{1}{x \cdot x} + \frac{C}{x}$

خطوة 6.3.1.2.2

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$y = - \frac{1}{x^{1} x} + \frac{C}{x}$

خطوة 6.3.1.2.3

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$y = - \frac{1}{x^{1} x^{1}} + \frac{C}{x}$

خطوة 6.3.1.2.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y = - \frac{1}{x^{1 + 1}} + \frac{C}{x}$

خطوة 6.3.1.2.5

أضف $1$ و $1$ .

$y = - \frac{1}{x^{2}} + \frac{C}{x}$