حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\cos^{2} (x) \sin (x) \frac{d y}{d x} + (\cos^{3} (x)) y = 1$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية في صورة $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد ترتيب الحدود.

$\cos^{2} (x) \sin (x) \frac{d y}{d x} + y \cos^{3} (x) = 1$

خطوة 1.2

أخرِج العامل $y$ من $y \cos^{3} (x)$ .

$\cos^{2} (x) \sin (x) \frac{d y}{d x} + y (\cos^{3} (x)) = 1$

خطوة 1.3

أعِد ترتيب $y$ و $\cos^{3} (x)$ .

$\cos^{2} (x) \sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos^{3} (x) y = 1$

خطوة 1.4

اقسِم كل حد في $\cos^{2} (x) \sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos^{3} (x) y = 1$ على $\cos^{2} (x) \sin (x)$ .

$\frac{\cos^{2} (x) \sin (x) \frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x) \sin (x)} + \frac{\cos^{3} (x) y}{\cos^{2} (x) \sin (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

خطوة 1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $\cos^{2} (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\cos^{2} (x) \sin (x) \frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x) \sin (x)} + \frac{\cos^{3} (x) y}{\cos^{2} (x) \sin (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

خطوة 1.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\sin (x) \frac{d y}{d x}}{\sin (x)} + \frac{\cos^{3} (x) y}{\cos^{2} (x) \sin (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

خطوة 1.6

ألغِ العامل المشترك لـ $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\sin (x) \frac{d y}{d x}}{\sin (x)} + \frac{\cos^{3} (x) y}{\cos^{2} (x) \sin (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

خطوة 1.6.2

اقسِم $\frac{d y}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{\cos^{3} (x) y}{\cos^{2} (x) \sin (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

خطوة 1.7

احذِف العامل المشترك لـ $\cos^{3} (x)$ و $\cos^{2} (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

أخرِج العامل $\cos^{2} (x)$ من $\cos^{3} (x) y$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{\cos^{2} (x) (\cos (x) y)}{\cos^{2} (x) \sin (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

خطوة 1.7.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.2.1

أخرِج العامل $\cos^{2} (x)$ من $\cos^{2} (x) \sin (x)$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{\cos^{2} (x) (\cos (x) y)}{\cos^{2} (x) (\sin (x))} = \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

خطوة 1.7.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d y}{d x} + \frac{\cos^{2} (x) (\cos (x) y)}{\cos^{2} (x) \sin (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

خطوة 1.7.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d y}{d x} + \frac{\cos (x) y}{\sin (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

خطوة 1.8

أخرِج العامل $y$ من $\frac{\cos (x) y}{\sin (x)}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

خطوة 1.9

أعِد ترتيب $y$ و $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} y = \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

خطوة 2

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل.

$e^{\int \frac{\cos (x)}{\sin (x)} d x}$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

حوّل من $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ إلى $\cot (x)$ .

$e^{\int \cot (x) d x}$

خطوة 2.2.2

تكامل $\cot (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| \sin (x) |)$ .

$e^{\ln (| \sin (x) |) + C}$

خطوة 2.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{\ln (\sin (x))}$

خطوة 2.4

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$\sin (x)$

خطوة 3

اضرب كل حد في عامل التكامل $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كل حد في $\sin (x)$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \sin (x) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} y) = \sin (x) \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

خطوة 3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

حوّل من $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ إلى $\cot (x)$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \sin (x) (\cot (x) y) = \sin (x) \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

خطوة 3.2.2

أعِد الكتابة من حيث الجيوب وجيوب التمام، ثم احذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

أعِد ترتيب $\sin (x)$ و $\cot (x)$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cot (x) \sin (x) y = \sin (x) \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

خطوة 3.2.2.2

أعِد كتابة $\sin (x) (\cot (x) y)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \sin (x) y = \sin (x) \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

خطوة 3.2.2.3

ألغِ العوامل المشتركة.

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = \sin (x) \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

خطوة 3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أخرِج العامل $\sin (x)$ من $\cos^{2} (x) \sin (x)$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = \sin (x) \frac{1}{\sin (x) \cos^{2} (x)}$

خطوة 3.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = \sin (x) \frac{1}{\sin (x) \cos^{2} (x)}$

خطوة 3.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

خطوة 3.4

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

خطوة 3.5

أعِد كتابة $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ بالصيغة ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

خطوة 3.6

حوّل من $\frac{1}{\cos (x)}$ إلى $\sec (x)$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = \sec^{2} (x)$

خطوة 3.7

أعِد ترتيب العوامل في $\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = \sec^{2} (x)$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + y \cos (x) = \sec^{2} (x)$

خطوة 4

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [\sin (x) y] = \sec^{2} (x)$

خطوة 5

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [\sin (x) y] d x = \int \sec^{2} (x) d x$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$\sin (x) y = \int \sec^{2} (x) d x$

خطوة 7

بما أن مشتق $\tan (x)$ هو $\sec^{2} (x)$ ، إذن تكامل $\sec^{2} (x)$ هو $\tan (x)$ .

$\sin (x) y = \tan (x) + C$

خطوة 8

اقسِم كل حد في $\sin (x) y = \tan (x) + C$ على $\sin (x)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اقسِم كل حد في $\sin (x) y = \tan (x) + C$ على $\sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) y}{\sin (x)} = \frac{\tan (x)}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

خطوة 8.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\sin (x) y}{\sin (x)} = \frac{\tan (x)}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

خطوة 8.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\tan (x)}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

خطوة 8.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1

أعِد كتابة $\tan (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$y = \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

خطوة 8.3.1.2

أعِد كتابة $\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\sin (x)}$ في صورة حاصل ضرب.

$y = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

خطوة 8.3.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

خطوة 8.3.1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{1}{\cos (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

خطوة 8.3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.1

حوّل من $\frac{1}{\cos (x)}$ إلى $\sec (x)$ .

$y = \sec (x) + \frac{C}{\sin (x)}$

خطوة 8.3.2.2

افصِل الكسور.

$y = \sec (x) + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

خطوة 8.3.2.3

حوّل من $\frac{1}{\sin (x)}$ إلى $\csc (x)$ .

$y = \sec (x) + \frac{C}{1} \csc (x)$

خطوة 8.3.2.4

اقسِم $C$ على $1$ .

$y = \sec (x) + C \csc (x)$