حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y'''' = 2 t e^{- 6 y} - e^{- 6 y}$ و $y (0) = 2$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أخرِج العامل $e^{- 6 y}$ من $2 t e^{- 6 y} - e^{- 6 y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أخرِج العامل $e^{- 6 y}$ من $2 t e^{- 6 y}$ .

$\frac{d y}{d t} = e^{- 6 y} (2 t) - e^{- 6 y}$

خطوة 1.1.2

أخرِج العامل $e^{- 6 y}$ من $- e^{- 6 y}$ .

$\frac{d y}{d t} = e^{- 6 y} (2 t) + e^{- 6 y} \cdot - 1$

خطوة 1.1.3

أخرِج العامل $e^{- 6 y}$ من $e^{- 6 y} (2 t) + e^{- 6 y} \cdot - 1$ .

$\frac{d y}{d t} = e^{- 6 y} (2 t - 1)$

خطوة 1.2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{e^{- 6 y}}$ .

$\frac{1}{e^{- 6 y}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{e^{- 6 y}} (e^{- 6 y} (2 t - 1))$

خطوة 1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{- 6 y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{e^{- 6 y}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{e^{- 6 y}} (e^{- 6 y} (2 t - 1))$

خطوة 1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{e^{- 6 y}} \frac{d y}{d t} = 2 t - 1$

خطوة 1.4

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{e^{- 6 y}} d y = (2 t - 1) d t$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{e^{- 6 y}} d y = \int 2 t - 1 d t$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

اعكِس علامة أُس $e^{- 6 y}$ وأخرِجها من القاسم.

$\int 1 {(e^{- 6 y})}^{- 1} d y = \int 2 t - 1 d t$

خطوة 2.2.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.2.1

اضرب الأُسس في ${(e^{- 6 y})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.2.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{- 6 y \cdot - 1} d y = \int 2 t - 1 d t$

خطوة 2.2.1.2.1.2

اضرب $- 1$ في $- 6$ .

$\int 1 e^{6 y} d y = \int 2 t - 1 d t$

خطوة 2.2.1.2.2

اضرب $e^{6 y}$ في $1$ .

$\int e^{6 y} d y = \int 2 t - 1 d t$

خطوة 2.2.2

لنفترض أن $u = 6 y$ . إذن $d u = 6 d y$ ، لذا $\frac{1}{6} d u = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

افترض أن $u = 6 y$ . أوجِد $\frac{d u}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.1

أوجِد مشتقة $6 y$ .

$\frac{d}{d y} [6 y]$

خطوة 2.2.2.1.2

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $6 y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $6 \frac{d}{d y} [y]$ .

$6 \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 2.2.2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$6 \cdot 1$

خطوة 2.2.2.1.4

اضرب $6$ في $1$ .

$6$

خطوة 2.2.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{6} d u = \int 2 t - 1 d t$

خطوة 2.2.3

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{6}$ .

$\int \frac{e^{u}}{6} d u = \int 2 t - 1 d t$

خطوة 2.2.4

بما أن $\frac{1}{6}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{6}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{6} \int e^{u} d u = \int 2 t - 1 d t$

خطوة 2.2.5

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$\frac{1}{6} (e^{u} + C_{1}) = \int 2 t - 1 d t$

خطوة 2.2.6

بسّط.

$\frac{1}{6} e^{u} + C_{1} = \int 2 t - 1 d t$

خطوة 2.2.7

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $6 y$ .

$\frac{1}{6} e^{6 y} + C_{1} = \int 2 t - 1 d t$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{1}{6} e^{6 y} + C_{1} = \int 2 t d t + \int - 1 d t$

خطوة 2.3.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$\frac{1}{6} e^{6 y} + C_{1} = 2 \int t d t + \int - 1 d t$

خطوة 2.3.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $t$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$\frac{1}{6} e^{6 y} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \int - 1 d t$

خطوة 2.3.4

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{6} e^{6 y} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) - t + C_{3}$

خطوة 2.3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $t^{2}$ .

$\frac{1}{6} e^{6 y} + C_{1} = 2 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) - t + C_{3}$

خطوة 2.3.5.2

بسّط.

$\frac{1}{6} e^{6 y} + C_{1} = t^{2} - t + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$\frac{1}{6} e^{6 y} = t^{2} - t + K$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كلا المتعادلين في $6$ .

$6 (\frac{1}{6} e^{6 y}) = 6 (t^{2} - t + K)$

خطوة 3.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

بسّط $6 (\frac{1}{6} e^{6 y})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

اجمع $\frac{1}{6}$ و $e^{6 y}$ .

$6 \frac{e^{6 y}}{6} = 6 (t^{2} - t + K)$

خطوة 3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$6 \frac{e^{6 y}}{6} = 6 (t^{2} - t + K)$

خطوة 3.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$e^{6 y} = 6 (t^{2} - t + K)$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

بسّط $6 (t^{2} - t + K)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$e^{6 y} = 6 t^{2} + 6 (- t) + 6 K$

خطوة 3.2.2.1.2

اضرب $- 1$ في $6$ .

$e^{6 y} = 6 t^{2} - 6 t + 6 K$

خطوة 3.3

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{6 y}) = \ln (6 t^{2} - 6 t + 6 K)$

خطوة 3.4

وسّع الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

وسّع $\ln (e^{6 y})$ بنقل $6 y$ خارج اللوغاريتم.

$6 y \ln (e) = \ln (6 t^{2} - 6 t + 6 K)$

خطوة 3.4.2

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$6 y \cdot 1 = \ln (6 t^{2} - 6 t + 6 K)$

خطوة 3.4.3

اضرب $6$ في $1$ .

$6 y = \ln (6 t^{2} - 6 t + 6 K)$

خطوة 3.5

اقسِم كل حد في $6 y = \ln (6 t^{2} - 6 t + 6 K)$ على $6$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

اقسِم كل حد في $6 y = \ln (6 t^{2} - 6 t + 6 K)$ على $6$ .

$\frac{6 y}{6} = \frac{\ln (6 t^{2} - 6 t + 6 K)}{6}$

خطوة 3.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{6 y}{6} = \frac{\ln (6 t^{2} - 6 t + 6 K)}{6}$

خطوة 3.5.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\ln (6 t^{2} - 6 t + 6 K)}{6}$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$y = \frac{\ln (6 t^{2} - 6 t + K)}{6}$

خطوة 5

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $K$ بالتعويض بـ $0$ عن $t$ وبـ $2$ عن $y$ في $y = \frac{\ln (6 t^{2} - 6 t + K)}{6}$ .

$2 = \frac{\ln (6 \cdot 0^{2} - 6 \cdot 0 + K)}{6}$

خطوة 6

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{\ln (6 \cdot 0^{2} - 6 \cdot 0 + K)}{6} = 2$ .

$\frac{\ln (6 \cdot 0^{2} - 6 \cdot 0 + K)}{6} = 2$

خطوة 6.2

اضرب كلا المتعادلين في $6$ .

$6 \frac{\ln (6 \cdot 0^{2} - 6 \cdot 0 + K)}{6} = 6 \cdot 2$

خطوة 6.3

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1

بسّط $6 \frac{\ln (6 \cdot 0^{2} - 6 \cdot 0 + K)}{6}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$6 \frac{\ln (6 \cdot 0^{2} - 6 \cdot 0 + K)}{6} = 6 \cdot 2$

خطوة 6.3.1.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\ln (6 \cdot 0^{2} - 6 \cdot 0 + K) = 6 \cdot 2$

خطوة 6.3.1.1.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1.2.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\ln (6 \cdot 0 - 6 \cdot 0 + K) = 6 \cdot 2$

خطوة 6.3.1.1.2.2

اضرب $6$ في $0$ .

$\ln (0 - 6 \cdot 0 + K) = 6 \cdot 2$

خطوة 6.3.1.1.2.3

اضرب $- 6$ في $0$ .

$\ln (0 + 0 + K) = 6 \cdot 2$

خطوة 6.3.1.1.3

جمّع الحدود المتعاكسة في $0 + 0 + K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1.3.1

أضف $0$ و $0$ .

$\ln (0 + K) = 6 \cdot 2$

خطوة 6.3.1.1.3.2

أضف $0$ و $K$ .

$\ln (K) = 6 \cdot 2$

خطوة 6.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1

اضرب $6$ في $2$ .

$\ln (K) = 12$

خطوة 6.4

لإيجاد قيمة $K$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (K)} = e^{12}$

خطوة 6.5

أعِد كتابة $\ln (K) = 12$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{12} = K$

خطوة 6.6

أعِد كتابة المعادلة في صورة $K = e^{12}$ .

$K = e^{12}$

خطوة 7

عوّض بـ $e^{12}$ عن $K$ في $y = \frac{\ln (6 t^{2} - 6 t + K)}{6}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

عوّض بقيمة $K$ التي تساوي $e^{12}$ .

$y = \frac{\ln (6 t^{2} - 6 t + e^{12})}{6}$

خطوة 7.2

أعِد كتابة $\frac{\ln (6 t^{2} - 6 t + e^{12})}{6}$ بالصيغة $\frac{1}{6} \ln (6 t^{2} - 6 t + e^{12})$ .

$y = \frac{1}{6} \ln (6 t^{2} - 6 t + e^{12})$

خطوة 7.3

بسّط $\frac{1}{6} \ln (6 t^{2} - 6 t + e^{12})$ بنقل $\frac{1}{6}$ داخل اللوغاريتم.

$y = \ln ({(6 t^{2} - 6 t + e^{12})}^{\frac{1}{6}})$