حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d u}{d v} = \frac{3 v \sqrt{1 + u^{2}}}{u}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد تجميع العوامل.

$\frac{d u}{d v} = 3 v \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u}$

خطوة 1.2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} (3 v \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u})$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = 3 \frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} (v \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u})$

خطوة 1.3.2

اضرب $\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ في $\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = 3 (\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{\sqrt{1 + u^{2}}}) (v \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u})$

خطوة 1.3.3

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

اضرب $\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ في $\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = 3 \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{\sqrt{1 + u^{2}} \sqrt{1 + u^{2}}} (v \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u})$

خطوة 1.3.3.2

ارفع $\sqrt{1 + u^{2}}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = 3 \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{\sqrt{1 + u^{2}}}^{1} \sqrt{1 + u^{2}}} (v \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u})$

خطوة 1.3.3.3

ارفع $\sqrt{1 + u^{2}}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = 3 \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{\sqrt{1 + u^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + u^{2}}}^{1}} (v \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u})$

خطوة 1.3.3.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = 3 \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{\sqrt{1 + u^{2}}}^{1 + 1}} (v \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u})$

خطوة 1.3.3.5

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = 3 \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{\sqrt{1 + u^{2}}}^{2}} (v \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u})$

خطوة 1.3.3.6

أعِد كتابة ${\sqrt{1 + u^{2}}}^{2}$ بالصيغة $1 + u^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{1 + u^{2}}$ في صورة ${(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = 3 \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{({(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (v \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u})$

خطوة 1.3.3.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = 3 \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} (v \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u})$

خطوة 1.3.3.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = 3 \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{(1 + u^{2})}^{\frac{2}{2}}} (v \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u})$

خطوة 1.3.3.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = 3 \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{(1 + u^{2})}^{\frac{2}{2}}} (v \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u})$

خطوة 1.3.3.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = 3 \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{(1 + u^{2})}^{1}} (v \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u})$

خطوة 1.3.3.6.5

بسّط.

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = 3 \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}} (v \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u})$

خطوة 1.3.4

اجمع $3$ و $\frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{3 (u \sqrt{1 + u^{2}})}{1 + u^{2}} (v \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u})$

خطوة 1.3.5

اجمع $v$ و $\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u}$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{3 u \sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}} \cdot \frac{v \sqrt{1 + u^{2}}}{u}$

خطوة 1.3.6

ألغِ العامل المشترك لـ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.6.1

أخرِج العامل $u$ من $3 u \sqrt{1 + u^{2}}$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{u (3 \sqrt{1 + u^{2}})}{1 + u^{2}} \cdot \frac{v \sqrt{1 + u^{2}}}{u}$

خطوة 1.3.6.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{u (3 \sqrt{1 + u^{2}})}{1 + u^{2}} \cdot \frac{v \sqrt{1 + u^{2}}}{u}$

خطوة 1.3.6.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{3 \sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}} (v \sqrt{1 + u^{2}})$

خطوة 1.3.7

اجمع $v$ و $\frac{3 \sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{v (3 \sqrt{1 + u^{2}})}{1 + u^{2}} \sqrt{1 + u^{2}}$

خطوة 1.3.8

اجمع $\frac{v (3 \sqrt{1 + u^{2}})}{1 + u^{2}}$ و $\sqrt{1 + u^{2}}$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{v (3 \sqrt{1 + u^{2}}) \sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}}$

خطوة 1.3.9

ارفع $\sqrt{1 + u^{2}}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{v (3 ({\sqrt{1 + u^{2}}}^{1} \sqrt{1 + u^{2}}))}{1 + u^{2}}$

خطوة 1.3.10

ارفع $\sqrt{1 + u^{2}}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{v (3 ({\sqrt{1 + u^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + u^{2}}}^{1}))}{1 + u^{2}}$

خطوة 1.3.11

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{v (3 {\sqrt{1 + u^{2}}}^{1 + 1})}{1 + u^{2}}$

خطوة 1.3.12

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{v (3 {\sqrt{1 + u^{2}}}^{2})}{1 + u^{2}}$

خطوة 1.3.13

أعِد كتابة ${\sqrt{1 + u^{2}}}^{2}$ بالصيغة $1 + u^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.13.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{1 + u^{2}}$ في صورة ${(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{v \cdot 3 {({(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{1 + u^{2}}$

خطوة 1.3.13.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{v \cdot 3 {(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{1 + u^{2}}$

خطوة 1.3.13.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{v \cdot 3 {(1 + u^{2})}^{\frac{2}{2}}}{1 + u^{2}}$

خطوة 1.3.13.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.13.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{v \cdot 3 {(1 + u^{2})}^{\frac{2}{2}}}{1 + u^{2}}$

خطوة 1.3.13.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{v \cdot 3 {(1 + u^{2})}^{1}}{1 + u^{2}}$

خطوة 1.3.13.5

بسّط.

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{v \cdot 3 (1 + u^{2})}{1 + u^{2}}$

خطوة 1.3.14

ألغِ العامل المشترك لـ $1 + u^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.14.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{v \cdot 3 (1 + u^{2})}{1 + u^{2}}$

خطوة 1.3.14.2

اقسِم $v \cdot 3$ على $1$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = v \cdot 3$

خطوة 1.3.15

انقُل $3$ إلى يسار $v$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = 3 v$

خطوة 1.4

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} d u = 3 v d v$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} d u = \int 3 v d v$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لنفترض أن $u_{1} = 1 + u^{2}$ . إذن $d u_{1} = 2 u d u$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{1} = u d u$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

افترض أن $u_{1} = 1 + u^{2}$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d u}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.1

أوجِد مشتقة $1 + u^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [1 + u^{2}]$

خطوة 2.2.1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + u^{2}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{d}{d u} [1] + \frac{d}{d u} [u^{2}]$ .

$\frac{d}{d u} [1] + \frac{d}{d u} [u^{2}]$

خطوة 2.2.1.1.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $u$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d u} [u^{2}]$

خطوة 2.2.1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$0 + 2 u$

خطوة 2.2.1.1.5

أضف $0$ و $2 u$ .

$2 u$

خطوة 2.2.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u_{1}}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int 3 v d v$

خطوة 2.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

اضرب $\frac{1}{\sqrt{u_{1}}}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u_{1}} \cdot 2} d u_{1} = \int 3 v d v$

خطوة 2.2.2.2

انقُل $2$ إلى يسار $\sqrt{u_{1}}$ .

$\int \frac{1}{2 \sqrt{u_{1}}} d u_{1} = \int 3 v d v$

خطوة 2.2.3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1} = \int 3 v d v$

خطوة 2.2.4

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u_{1}}$ في صورة ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1} = \int 3 v d v$

خطوة 2.2.4.2

انقُل ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{1} = \int 3 v d v$

خطوة 2.2.4.3

اضرب الأُسس في ${({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{1} = \int 3 v d v$

خطوة 2.2.4.3.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{1} = \int 3 v d v$

خطوة 2.2.4.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{- \frac{1}{2}} d u_{1} = \int 3 v d v$

خطوة 2.2.5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل ${u_{1}}^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1}) = \int 3 v d v$

خطوة 2.2.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.6.1

أعِد كتابة $\frac{1}{2} (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1})$ بالصيغة $\frac{1}{2} \cdot 2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1}$ .

$\frac{1}{2} \cdot 2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 3 v d v$

خطوة 2.2.6.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.6.2.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{2}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 3 v d v$

خطوة 2.2.6.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.6.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 3 v d v$

خطوة 2.2.6.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 3 v d v$

خطوة 2.2.6.2.3

اضرب ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ في $1$ .

${u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 3 v d v$

خطوة 2.2.7

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $1 + u^{2}$ .

${(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 3 v d v$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $v$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

${(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 3 \int v d v$

خطوة 2.3.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $v$ بالنسبة إلى $v$ هو $\frac{1}{2} v^{2}$ .

${(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 3 (\frac{1}{2} v^{2} + C_{2})$

خطوة 2.3.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

أعِد كتابة $3 (\frac{1}{2} v^{2} + C_{2})$ بالصيغة $3 (\frac{1}{2}) v^{2} + C_{2}$ .

${(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 3 (\frac{1}{2}) v^{2} + C_{2}$

خطوة 2.3.3.2

اجمع $3$ و $\frac{1}{2}$ .

${(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{3}{2} v^{2} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

${(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}} = \frac{3}{2} v^{2} + K$

خطوة 3

أوجِد قيمة $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

ارفع كل متعادل إلى القوة $2$ لحذف الأُس الكسري في الطرف الأيسر.

${({(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{3}{2} v^{2} + K)}^{2}$

خطوة 3.2

بسّط الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

بسّط ${({(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

اضرب الأُسس في ${({(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{3}{2} v^{2} + K)}^{2}$

خطوة 3.2.1.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

${(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{3}{2} v^{2} + K)}^{2}$

خطوة 3.2.1.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

${(1 + u^{2})}^{1} = {(\frac{3}{2} v^{2} + K)}^{2}$

خطوة 3.2.1.1.2

بسّط.

$1 + u^{2} = {(\frac{3}{2} v^{2} + K)}^{2}$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

بسّط ${(\frac{3}{2} v^{2} + K)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1.1

اجمع $\frac{3}{2}$ و $v^{2}$ .

$1 + u^{2} = {(\frac{3 v^{2}}{2} + K)}^{2}$

خطوة 3.2.2.1.1.2

أعِد كتابة ${(\frac{3 v^{2}}{2} + K)}^{2}$ بالصيغة $(\frac{3 v^{2}}{2} + K) (\frac{3 v^{2}}{2} + K)$ .

$1 + u^{2} = (\frac{3 v^{2}}{2} + K) (\frac{3 v^{2}}{2} + K)$

خطوة 3.2.2.1.2

وسّع $(\frac{3 v^{2}}{2} + K) (\frac{3 v^{2}}{2} + K)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$1 + u^{2} = \frac{3 v^{2}}{2} (\frac{3 v^{2}}{2} + K) + K (\frac{3 v^{2}}{2} + K)$

خطوة 3.2.2.1.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$1 + u^{2} = \frac{3 v^{2}}{2} \cdot \frac{3 v^{2}}{2} + \frac{3 v^{2}}{2} K + K (\frac{3 v^{2}}{2} + K)$

خطوة 3.2.2.1.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$1 + u^{2} = \frac{3 v^{2}}{2} \cdot \frac{3 v^{2}}{2} + \frac{3 v^{2}}{2} K + K \frac{3 v^{2}}{2} + K \cdot K$

خطوة 3.2.2.1.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.3.1.1

اجمع.

$1 + u^{2} = \frac{3 v^{2} (3 v^{2})}{2 \cdot 2} + \frac{3 v^{2}}{2} K + K \frac{3 v^{2}}{2} + K \cdot K$

خطوة 3.2.2.1.3.1.2

اضرب $v^{2}$ في $v^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.3.1.2.1

انقُل $v^{2}$ .

$1 + u^{2} = \frac{3 (v^{2} v^{2}) \cdot 3}{2 \cdot 2} + \frac{3 v^{2}}{2} K + K \frac{3 v^{2}}{2} + K \cdot K$

خطوة 3.2.2.1.3.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$1 + u^{2} = \frac{3 v^{2 + 2} \cdot 3}{2 \cdot 2} + \frac{3 v^{2}}{2} K + K \frac{3 v^{2}}{2} + K \cdot K$

خطوة 3.2.2.1.3.1.2.3

أضف $2$ و $2$ .

$1 + u^{2} = \frac{3 v^{4} \cdot 3}{2 \cdot 2} + \frac{3 v^{2}}{2} K + K \frac{3 v^{2}}{2} + K \cdot K$

خطوة 3.2.2.1.3.1.3

اضرب $3$ في $3$ .

$1 + u^{2} = \frac{9 v^{4}}{2 \cdot 2} + \frac{3 v^{2}}{2} K + K \frac{3 v^{2}}{2} + K \cdot K$

خطوة 3.2.2.1.3.1.4

اضرب $2$ في $2$ .

$1 + u^{2} = \frac{9 v^{4}}{4} + \frac{3 v^{2}}{2} K + K \frac{3 v^{2}}{2} + K \cdot K$

خطوة 3.2.2.1.3.1.5

اجمع $\frac{3 v^{2}}{2}$ و $K$ .

$1 + u^{2} = \frac{9 v^{4}}{4} + \frac{3 v^{2} K}{2} + K \frac{3 v^{2}}{2} + K \cdot K$

خطوة 3.2.2.1.3.1.6

اجمع $K$ و $\frac{3 v^{2}}{2}$ .

$1 + u^{2} = \frac{9 v^{4}}{4} + \frac{3 v^{2} K}{2} + \frac{K (3 v^{2})}{2} + K (K)$

خطوة 3.2.2.1.3.1.7

انقُل $3$ إلى يسار $K$ .

$1 + u^{2} = \frac{9 v^{4}}{4} + \frac{3 v^{2} K}{2} + \frac{3 \cdot K v^{2}}{2} + K \cdot K$

خطوة 3.2.2.1.3.1.8

اضرب $K$ في $K$ .

$1 + u^{2} = \frac{9 v^{4}}{4} + \frac{3 v^{2} K}{2} + \frac{3 K v^{2}}{2} + K^{2}$

خطوة 3.2.2.1.3.2

أضف $\frac{3 v^{2} K}{2}$ و $\frac{3 K v^{2}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.3.2.1

انقُل $v^{2}$ .

$1 + u^{2} = \frac{9 v^{4}}{4} + \frac{3 K v^{2}}{2} + \frac{3 K v^{2}}{2} + K^{2}$

خطوة 3.2.2.1.3.2.2

أضف $\frac{3 K v^{2}}{2}$ و $\frac{3 K v^{2}}{2}$ .

$1 + u^{2} = \frac{9 v^{4}}{4} + 2 \frac{3 K v^{2}}{2} + K^{2}$

خطوة 3.2.2.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$1 + u^{2} = \frac{9 v^{4}}{4} + 2 \frac{3 K v^{2}}{2} + K^{2}$

خطوة 3.2.2.1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 + u^{2} = \frac{9 v^{4}}{4} + 3 K v^{2} + K^{2}$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$u^{2} = \frac{9 v^{4}}{4} + 3 K v^{2} + K^{2} - 1$

خطوة 3.3.2

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$u = \pm \sqrt{\frac{9 v^{4}}{4} + 3 K v^{2} + K^{2} - 1}$

خطوة 3.3.3

بسّط $\pm \sqrt{\frac{9 v^{4}}{4} + 3 K v^{2} + K^{2} - 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة المربع الكامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1.1

أعِد كتابة $9 v^{4}$ بالصيغة ${(3 v^{2})}^{2}$ .

$u = \pm \sqrt{\frac{{(3 v^{2})}^{2}}{4} + 3 K v^{2} + K^{2} - 1}$

خطوة 3.3.3.1.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$u = \pm \sqrt{\frac{{(3 v^{2})}^{2}}{2^{2}} + 3 K v^{2} + K^{2} - 1}$

خطوة 3.3.3.1.3

أعِد كتابة $\frac{{(3 v^{2})}^{2}}{2^{2}}$ بالصيغة ${(\frac{3 v^{2}}{2})}^{2}$ .

$u = \pm \sqrt{{(\frac{3 v^{2}}{2})}^{2} + 3 K v^{2} + K^{2} - 1}$

خطوة 3.3.3.1.4

تحقق من أن الحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب الأعداد المربعة في الحد الأول والحد الثالث.

$3 K v^{2} = 2 \cdot \frac{3 v^{2}}{2} \cdot K$

خطوة 3.3.3.1.5

أعِد كتابة متعدد الحدود.

$u = \pm \sqrt{{(\frac{3 v^{2}}{2})}^{2} + 2 \cdot \frac{3 v^{2}}{2} \cdot K + K^{2} - 1}$

خطوة 3.3.3.1.6

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة ثلاثي حدود المربع الكامل $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ ، حيث $a = \frac{3 v^{2}}{2}$ و $b = K$ .

$u = \pm \sqrt{{(\frac{3 v^{2}}{2} + K)}^{2} - 1}$

خطوة 3.3.3.2

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$u = \pm \sqrt{{(\frac{3 v^{2}}{2} + K)}^{2} - 1^{2}}$

خطوة 3.3.3.3

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = \frac{3 v^{2}}{2} + K$ و $b = 1$ .

$u = \pm \sqrt{(\frac{3 v^{2}}{2} + K + 1) (\frac{3 v^{2}}{2} + K - 1)}$

خطوة 3.3.4

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.4.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$u = \sqrt{(\frac{3 v^{2}}{2} + K + 1) (\frac{3 v^{2}}{2} + K - 1)}$

خطوة 3.3.4.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$u = - \sqrt{(\frac{3 v^{2}}{2} + K + 1) (\frac{3 v^{2}}{2} + K - 1)}$

خطوة 3.3.4.3