حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(y \ln (x) + y) d x + (x \ln (x) - e^{y}) d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = y \ln (x) + y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y \ln (x) + y]$

خطوة 1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y \ln (x) + y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [y \ln (x)] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y \ln (x)] + \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [y \ln (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $\ln (x)$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $y \ln (x)$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $\ln (x) \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \ln (x) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \ln (x) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.3.3

اضرب $\ln (x)$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \ln (x) + \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \ln (x) + 1$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = x \ln (x) - e^{y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x \ln (x) - e^{y}]$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x \ln (x) - e^{y}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = \ln (x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$

خطوة 2.3.2

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$

خطوة 2.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$

خطوة 2.3.4

اجمع $x$ و $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$

خطوة 2.3.5

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$

خطوة 2.3.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \ln (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$

خطوة 2.3.6

اضرب $\ln (x)$ في $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \ln (x) + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

بما أن $- e^{y}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- e^{y}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \ln (x) + 0$

خطوة 2.4.2

أضف $1 + \ln (x)$ و $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \ln (x)$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $\ln (x) + 1$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $1 + \ln (x)$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\ln (x) + 1 = 1 + \ln (x)$

خطوة 3.2

بما أن الطرفين تبين أنهما متكافئان، إذن المعادلة تمثل متطابقة.

$\ln (x) + 1 = 1 + \ln (x)$ تمثل متطابقة.

خطوة 4

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x \ln (x) - e^{y} d y$

خطوة 5

أوجِد التكامل لـ $N (x, y) = x \ln (x) - e^{y}$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$f (x, y) = \int x \ln (x) d y + \int - e^{y} d y$

خطوة 5.2

طبّق قاعدة الثابت.

$f (x, y) = x \ln (x) y + C + \int - e^{y} d y$

خطوة 5.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$f (x, y) = x \ln (x) y + C - \int e^{y} d y$

خطوة 5.4

تكامل $e^{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $e^{y}$ .

$f (x, y) = x \ln (x) y + C - (e^{y} + C)$

خطوة 5.5

بسّط.

$f (x, y) = x \ln (x) y - e^{y} + C$

خطوة 6

بما أن تكامل $g (x)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (x)$ .

$f (x, y) = x \ln (x) y - e^{y} + g (x)$

خطوة 7

عيّن $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = y \ln (x) + y$

خطوة 8

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d}{d x} [x \ln (x) y - e^{y} + g (x)] = y \ln (x) + y$

خطوة 8.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x \ln (x) y - e^{y} + g (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x \ln (x) y] + \frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x \ln (x) y] + \frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \ln (x) + y$

خطوة 8.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [x \ln (x) y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

بما أن $y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $x \ln (x) y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$y \frac{d}{d x} [x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \ln (x) + y$

خطوة 8.3.2

$y (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \ln (x) + y$

خطوة 8.3.3

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$y (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \ln (x) + y$

خطوة 8.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$y (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \ln (x) + y$

خطوة 8.3.5

اجمع $x$ و $\frac{1}{x}$ .

$y (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \ln (x) + y$

خطوة 8.3.6

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$y (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \ln (x) + y$

خطوة 8.3.6.2

أعِد كتابة العبارة.

$y (1 + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \ln (x) + y$

خطوة 8.3.7

اضرب $\ln (x)$ في $1$ .

$y (1 + \ln (x)) + \frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \ln (x) + y$

خطوة 8.4

بما أن $- e^{y}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- e^{y}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$y (1 + \ln (x)) + 0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \ln (x) + y$

خطوة 8.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (x)$ هو $\frac{d g}{d x}$ .

$y (1 + \ln (x)) + 0 + \frac{d g}{d x} = y \ln (x) + y$

خطوة 8.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y \cdot 1 + y \ln (x) + 0 + \frac{d g}{d x} = y \ln (x) + y$

خطوة 8.6.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.6.2.1

اضرب $y$ في $1$ .

$y + y \ln (x) + 0 + \frac{d g}{d x} = y \ln (x) + y$

خطوة 8.6.2.2

أضف $y + y \ln (x)$ و $0$ .

$y + y \ln (x) + \frac{d g}{d x} = y \ln (x) + y$

خطوة 8.6.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d x} + y \ln (x) + y = y \ln (x) + y$

خطوة 9

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$y \ln (x) - y \ln (x) = - \frac{d g}{d x} - y + y$

خطوة 9.1.2

اطرح $y \ln (x)$ من $y \ln (x)$ .

$0 = - \frac{d g}{d x} - y + y$

خطوة 9.1.3

جمّع الحدود المتعاكسة في $- \frac{d g}{d x} - y + y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.3.1

أضف $- y$ و $y$ .

$0 = - \frac{d g}{d x} + 0$

خطوة 9.1.3.2

أضف $- \frac{d g}{d x}$ و $0$ .

$0 = - \frac{d g}{d x}$

خطوة 9.1.4

بما أن $\frac{d g}{d x}$ موجودة على المتعادل الأيمن، بدّل الأطراف بحيث تصبح على المتعادل الأيسر.

$- \frac{d g}{d x} = 0$

خطوة 9.1.5

اقسِم كل حد في $- \frac{d g}{d x} = 0$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.5.1

اقسِم كل حد في $- \frac{d g}{d x} = 0$ على $- 1$ .

$\frac{- \frac{d g}{d x}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

خطوة 9.1.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.5.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{\frac{d g}{d x}}{1} = \frac{0}{- 1}$

خطوة 9.1.5.2.2

اقسِم $\frac{d g}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{0}{- 1}$

خطوة 9.1.5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.5.3.1

اقسِم $0$ على $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} = 0$

خطوة 10

أوجِد المشتق العكسي لـ $0$ لإيجاد $g (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d x} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

خطوة 10.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 0 d x$

خطوة 10.3

تكامل $0$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$g (x) = 0 + C$

خطوة 10.4

أضف $0$ و $C$ .

$g (x) = C$

خطوة 11

عوّض عن $g (x)$ في $f (x, y) = x \ln (x) y - e^{y} + g (x)$ .

$f (x, y) = x \ln (x) y - e^{y} + C$

خطوة 12

أعِد ترتيب العوامل في $f (x, y) = x \ln (x) y - e^{y} + C$ .

$f (x, y) = x y \ln (x) - e^{y} + C$