حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{2} (1 + y^{2})$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{1 + y^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} (3 x^{2} (1 + y^{2}))$

خطوة 1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = 3 \frac{1}{1 + y^{2}} (x^{2} (1 + y^{2}))$

خطوة 1.2.2

اجمع $3$ و $\frac{1}{1 + y^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{3}{1 + y^{2}} (x^{2} (1 + y^{2}))$

خطوة 1.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $1 + y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

أخرِج العامل $1 + y^{2}$ من $x^{2} (1 + y^{2})$ .

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{3}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) x^{2})$

خطوة 1.2.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{3}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) x^{2})$

خطوة 1.2.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = 3 x^{2}$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = 3 x^{2} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int 3 x^{2} d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int 3 x^{2} d x$

خطوة 2.2.2

تكامل $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\arctan (y) + C_{1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int 3 x^{2} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$\arctan (y) + C_{1} = 3 \int x^{2} d x$

خطوة 2.3.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

خطوة 2.3.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

أعِد كتابة $3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ بالصيغة $3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$

خطوة 2.3.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.1

اجمع $3$ و $\frac{1}{3}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \frac{3}{3} x^{3} + C_{2}$

خطوة 2.3.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\arctan (y) + C_{1} = \frac{3}{3} x^{3} + C_{2}$

خطوة 2.3.3.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\arctan (y) + C_{1} = 1 x^{3} + C_{2}$

خطوة 2.3.3.2.3

اضرب $x^{3}$ في $1$ .

$\arctan (y) + C_{1} = x^{3} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$\arctan (y) = x^{3} + K$

خطوة 3

خُذ دالة قوس الظل العكسية لكلا المتعادلين لاستخراج $y$ من داخل قوس الظل.

$y = \tan (x^{3} + K)$