حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d x}{d t} = \frac{t - 1}{x^{2} - 4 x + 4}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $x^{2} - 4 x + 4$ .

$(x^{2} - 4 x + 4) \frac{d x}{d t} = (x^{2} - 4 x + 4) \frac{t - 1}{x^{2} - 4 x + 4}$

خطوة 1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة المربع الكامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$(x^{2} - 4 x + 4) \frac{d x}{d t} = (x^{2} - 4 x + 4) \frac{t - 1}{x^{2} - 4 x + 2^{2}}$

خطوة 1.2.1.2

تحقق من أن الحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب الأعداد المربعة في الحد الأول والحد الثالث.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

خطوة 1.2.1.3

أعِد كتابة متعدد الحدود.

$(x^{2} - 4 x + 4) \frac{d x}{d t} = (x^{2} - 4 x + 4) \frac{t - 1}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}}$

خطوة 1.2.1.4

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة ثلاثي حدود المربع الكامل $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ ، حيث $a = x$ و $b = 2$ .

$(x^{2} - 4 x + 4) \frac{d x}{d t} = (x^{2} - 4 x + 4) \frac{t - 1}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 1.2.2

اضرب $x^{2} - 4 x + 4$ في $\frac{t - 1}{{(x - 2)}^{2}}$ .

$(x^{2} - 4 x + 4) \frac{d x}{d t} = \frac{(x^{2} - 4 x + 4) (t - 1)}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 1.2.3

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة المربع الكامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$(x^{2} - 4 x + 4) \frac{d x}{d t} = \frac{(x^{2} - 4 x + 2^{2}) (t - 1)}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 1.2.3.2

تحقق من أن الحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب الأعداد المربعة في الحد الأول والحد الثالث.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

خطوة 1.2.3.3

أعِد كتابة متعدد الحدود.

$(x^{2} - 4 x + 4) \frac{d x}{d t} = \frac{(x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}) (t - 1)}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 1.2.3.4

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة ثلاثي حدود المربع الكامل $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ ، حيث $a = x$ و $b = 2$ .

$(x^{2} - 4 x + 4) \frac{d x}{d t} = \frac{{(x - 2)}^{2} (t - 1)}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 1.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ ${(x - 2)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$(x^{2} - 4 x + 4) \frac{d x}{d t} = \frac{{(x - 2)}^{2} (t - 1)}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 1.2.4.2

اقسِم $t - 1$ على $1$ .

$(x^{2} - 4 x + 4) \frac{d x}{d t} = t - 1$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$(x^{2} - 4 x + 4) d x = (t - 1) d t$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int x^{2} - 4 x + 4 d x = \int t - 1 d t$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int x^{2} d x + \int - 4 x d x + \int 4 d x = \int t - 1 d t$

خطوة 2.2.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C_{1} + \int - 4 x d x + \int 4 d x = \int t - 1 d t$

خطوة 2.2.3

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 4$ خارج التكامل.

$\frac{1}{3} x^{3} + C_{1} - 4 \int x d x + \int 4 d x = \int t - 1 d t$

خطوة 2.2.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C_{1} - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int 4 d x = \int t - 1 d t$

خطوة 2.2.5

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{3} x^{3} + C_{1} - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + 4 x + C_{3} = \int t - 1 d t$

خطوة 2.2.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.6.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C_{1} - 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + 4 x + C_{3} = \int t - 1 d t$

خطوة 2.2.6.2

بسّط.

$\frac{x^{3}}{3} - 2 x^{2} + 4 x + C_{4} = \int t - 1 d t$

خطوة 2.2.6.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + C_{4} = \int t - 1 d t$

خطوة 2.2.7

أعِد ترتيب الحدود.

$- 2 x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 4 x + C_{4} = \int t - 1 d t$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$- 2 x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 4 x + C_{4} = \int t d t + \int - 1 d t$

خطوة 2.3.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $t$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$- 2 x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 4 x + C_{4} = \frac{1}{2} t^{2} + C_{5} + \int - 1 d t$

خطوة 2.3.3

طبّق قاعدة الثابت.

$- 2 x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 4 x + C_{4} = \frac{1}{2} t^{2} + C_{5} - t + C_{6}$

خطوة 2.3.4

بسّط.

$- 2 x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 4 x + C_{4} = \frac{1}{2} t^{2} - t + C_{7}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$- 2 x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 4 x = \frac{1}{2} t^{2} - t + K$