حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{3} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{y}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اقسِم كل حد في $x^{3} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{y}$ على $x^{3}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

اقسِم كل حد في $x^{3} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{y}$ على $x^{3}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d y}{d x}}{x^{3}} = \frac{\frac{6}{y}}{x^{3}}$

خطوة 1.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x^{3} \frac{d y}{d x}}{x^{3}} = \frac{\frac{6}{y}}{x^{3}}$

خطوة 1.1.2.1.2

اقسِم $\frac{d y}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{6}{y}}{x^{3}}$

خطوة 1.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\frac{d y}{d x} = \frac{6}{y} \cdot \frac{1}{x^{3}}$

خطوة 1.1.3.2

اجمع.

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 \cdot 1}{y x^{3}}$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $6$ في $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6}{y x^{3}}$

خطوة 1.2

أعِد تجميع العوامل.

$\frac{d y}{d x} = \frac{6}{y} \cdot \frac{1}{x^{3}}$

خطوة 1.3

اضرب كلا الطرفين في $\frac{y}{6}$ .

$\frac{y}{6} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{6} (\frac{6}{y} \cdot \frac{1}{x^{3}})$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

اجمع.

$\frac{y}{6} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{6} \cdot \frac{6 \cdot 1}{y x^{3}}$

خطوة 1.4.2

اجمع.

$\frac{y}{6} \frac{d y}{d x} = \frac{y (6 \cdot 1)}{6 (y x^{3})}$

خطوة 1.4.3

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y}{6} \frac{d y}{d x} = \frac{y (6 \cdot 1)}{6 (y x^{3})}$

خطوة 1.4.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y}{6} \frac{d y}{d x} = \frac{6 \cdot 1}{6 (x^{3})}$

خطوة 1.4.4

ألغِ العامل المشترك لـ $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y}{6} \frac{d y}{d x} = \frac{6 \cdot 1}{6 x^{3}}$

خطوة 1.4.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y}{6} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{3}}$

خطوة 1.5

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{y}{6} d y = \frac{1}{x^{3}} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{y}{6} d y = \int \frac{1}{x^{3}} d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $\frac{1}{6}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $\frac{1}{6}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{6} \int y d y = \int \frac{1}{x^{3}} d x$

خطوة 2.2.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{6} (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int \frac{1}{x^{3}} d x$

خطوة 2.2.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

أعِد كتابة $\frac{1}{6} (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ بالصيغة $\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} y^{2} + C_{1}$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{x^{3}} d x$

خطوة 2.2.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.2.1

اضرب $\frac{1}{6}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{6 \cdot 2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{x^{3}} d x$

خطوة 2.2.3.2.2

اضرب $6$ في $2$ .

$\frac{1}{12} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{x^{3}} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

انقُل $x^{3}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\frac{1}{12} y^{2} + C_{1} = \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

خطوة 2.3.1.2

اضرب الأُسس في ${(x^{3})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{12} y^{2} + C_{1} = \int x^{3 \cdot - 1} d x$

خطوة 2.3.1.2.2

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\frac{1}{12} y^{2} + C_{1} = \int x^{- 3} d x$

خطوة 2.3.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- 3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$\frac{1}{12} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{- 2} + C_{2}$

خطوة 2.3.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

أعِد كتابة $- \frac{1}{2} x^{- 2} + C_{2}$ بالصيغة $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}} + C_{2}$ .

$\frac{1}{12} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}} + C_{2}$

خطوة 2.3.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.1

اضرب $\frac{1}{x^{2}}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{12} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{x^{2} \cdot 2} + C_{2}$

خطوة 2.3.3.2.2

انقُل $2$ إلى يسار $x^{2}$ .

$\frac{1}{12} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$\frac{1}{12} y^{2} = - \frac{1}{2 x^{2}} + K$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كلا المتعادلين في $12$ .

$12 (\frac{1}{12} y^{2}) = 12 (- \frac{1}{2 x^{2}} + K)$

خطوة 3.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

بسّط $12 (\frac{1}{12} y^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

اجمع $\frac{1}{12}$ و $y^{2}$ .

$12 \frac{y^{2}}{12} = 12 (- \frac{1}{2 x^{2}} + K)$

خطوة 3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$12 \frac{y^{2}}{12} = 12 (- \frac{1}{2 x^{2}} + K)$

خطوة 3.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} = 12 (- \frac{1}{2 x^{2}} + K)$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

بسّط $12 (- \frac{1}{2 x^{2}} + K)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y^{2} = 12 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + 12 K$

خطوة 3.2.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.2.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{2 x^{2}}$ إلى بسط الكسر.

$y^{2} = 12 \frac{- 1}{2 x^{2}} + 12 K$

خطوة 3.2.2.1.2.2

أخرِج العامل $2$ من $12$ .

$y^{2} = 2 (6) \frac{- 1}{2 x^{2}} + 12 K$

خطوة 3.2.2.1.2.3

أخرِج العامل $2$ من $2 x^{2}$ .

$y^{2} = 2 (6) \frac{- 1}{2 (x^{2})} + 12 K$

خطوة 3.2.2.1.2.4

ألغِ العامل المشترك.

$y^{2} = 2 \cdot 6 \frac{- 1}{2 x^{2}} + 12 K$

خطوة 3.2.2.1.2.5

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} = 6 \frac{- 1}{x^{2}} + 12 K$

خطوة 3.2.2.1.3

اجمع $6$ و $\frac{- 1}{x^{2}}$ .

$y^{2} = \frac{6 \cdot - 1}{x^{2}} + 12 K$

خطوة 3.2.2.1.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.4.1

اضرب $6$ في $- 1$ .

$y^{2} = \frac{- 6}{x^{2}} + 12 K$

خطوة 3.2.2.1.4.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y^{2} = - \frac{6}{x^{2}} + 12 K$

خطوة 3.3

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \pm \sqrt{- \frac{6}{x^{2}} + 12 K}$

خطوة 3.4

بسّط $\pm \sqrt{- \frac{6}{x^{2}} + 12 K}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أخرِج العامل $6$ من $- \frac{6}{x^{2}} + 12 K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.1

أخرِج العامل $6$ من $- \frac{6}{x^{2}}$ .

$y = \pm \sqrt{6 (- \frac{1}{x^{2}}) + 12 K}$

خطوة 3.4.1.2

أخرِج العامل $6$ من $12 K$ .

$y = \pm \sqrt{6 (- \frac{1}{x^{2}}) + 6 (2 K)}$

خطوة 3.4.1.3

أخرِج العامل $6$ من $6 (- \frac{1}{x^{2}}) + 6 (2 K)$ .

$y = \pm \sqrt{6 (- \frac{1}{x^{2}} + 2 K)}$

خطوة 3.4.2

لكتابة $2 K$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$y = \pm \sqrt{6 (- \frac{1}{x^{2}} + \frac{2 K x^{2}}{x^{2}})}$

خطوة 3.4.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \pm \sqrt{6 \frac{- 1 + 2 K x^{2}}{x^{2}}}$

خطوة 3.4.4

اجمع $6$ و $\frac{- 1 + 2 K x^{2}}{x^{2}}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{6 (- 1 + 2 K x^{2})}{x^{2}}}$

خطوة 3.4.5

أعِد كتابة $\frac{6 (- 1 + 2 K x^{2})}{x^{2}}$ بالصيغة ${(\frac{1}{x})}^{2} (6 (- 1 + 2 K x^{2}))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.5.1

أخرِج عامل القوة الكاملة $1^{2}$ من $6 (- 1 + 2 K x^{2})$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (6 (- 1 + 2 K x^{2}))}{x^{2}}}$

خطوة 3.4.5.2

أخرِج عامل القوة الكاملة $x^{2}$ من $x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (6 (- 1 + 2 K x^{2}))}{x^{2} \cdot 1}}$

خطوة 3.4.5.3

أعِد ترتيب الكسر $\frac{1^{2} (6 (- 1 + 2 K x^{2}))}{x^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} (6 (- 1 + 2 K x^{2}))}$

خطوة 3.4.6

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$y = \pm \frac{1}{x} \sqrt{6 (- 1 + 2 K x^{2})}$

خطوة 3.4.7

اجمع $\frac{1}{x}$ و $\sqrt{6 (- 1 + 2 K x^{2})}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{6 (- 1 + 2 K x^{2})}}{x}$

خطوة 3.5

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$y = \frac{\sqrt{6 (- 1 + 2 K x^{2})}}{x}$

خطوة 3.5.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$y = - \frac{\sqrt{6 (- 1 + 2 K x^{2})}}{x}$

خطوة 3.5.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$y = \frac{\sqrt{6 (- 1 + 2 K x^{2})}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (- 1 + 2 K x^{2})}}{x}$

$y = \frac{\sqrt{6 (- 1 + 2 K x^{2})}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (- 1 + 2 K x^{2})}}{x}$

$y = \frac{\sqrt{6 (- 1 + 2 K x^{2})}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (- 1 + 2 K x^{2})}}{x}$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$y = \frac{\sqrt{6 (- 1 + K x^{2})}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (- 1 + K x^{2})}}{x}$