حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = x^{3} - x^{2} + 2 x$ , $y (2) = 0$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = (x^{3} - x^{2} + 2 x) d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int x^{3} - x^{2} + 2 x d x$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int x^{3} - x^{2} + 2 x d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$y + C_{1} = \int x^{3} d x + \int - x^{2} d x + \int 2 x d x$

خطوة 2.3.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} + C_{2} + \int - x^{2} d x + \int 2 x d x$

خطوة 2.3.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} + C_{2} - \int x^{2} d x + \int 2 x d x$

خطوة 2.3.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} + C_{2} - (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + \int 2 x d x$

خطوة 2.3.5

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} + C_{2} - (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + 2 \int x d x$

خطوة 2.3.6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} + C_{2} - (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$

خطوة 2.3.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.1

بسّط.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} + 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{5}$

خطوة 2.3.7.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.2.1

اجمع $2$ و $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} + \frac{2}{2} x^{2} + C_{5}$

خطوة 2.3.7.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} + \frac{2}{2} x^{2} + C_{5}$

خطوة 2.3.7.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} + 1 x^{2} + C_{5}$

خطوة 2.3.7.2.3

اضرب $x^{2}$ في $1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} + x^{2} + C_{5}$

خطوة 2.3.8

أعِد ترتيب الحدود.

$y + C_{1} = x^{2} + \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} + C_{5}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$y = x^{2} + \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} + K$

خطوة 3

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $K$ بالتعويض بـ $2$ عن $x$ وبـ $0$ عن $y$ في $y = x^{2} + \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} + K$ .

$0 = 2^{2} + \frac{1}{4} \cdot 2^{4} - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + K$

خطوة 4

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $2^{2} + \frac{1}{4} \cdot 2^{4} - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + K = 0$ .

$2^{2} + \frac{1}{4} \cdot 2^{4} - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + K = 0$

خطوة 4.2

بسّط $2^{2} + \frac{1}{4} \cdot 2^{4} - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$4 + \frac{1}{4} \cdot 2^{4} - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + K = 0$

خطوة 4.2.1.2

ارفع $2$ إلى القوة $4$ .

$4 + \frac{1}{4} \cdot 16 - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + K = 0$

خطوة 4.2.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.3.1

أخرِج العامل $4$ من $16$ .

$4 + \frac{1}{4} \cdot (4 (4)) - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + K = 0$

خطوة 4.2.1.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$4 + \frac{1}{4} \cdot (4 \cdot 4) - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + K = 0$

خطوة 4.2.1.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$4 + 4 - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + K = 0$

خطوة 4.2.1.4

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$4 + 4 - \frac{1}{3} \cdot 8 + K = 0$

خطوة 4.2.1.5

اضرب $- \frac{1}{3} \cdot 8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.5.1

اضرب $8$ في $- 1$ .

$4 + 4 - 8 (\frac{1}{3}) + K = 0$

خطوة 4.2.1.5.2

اجمع $- 8$ و $\frac{1}{3}$ .

$4 + 4 + \frac{- 8}{3} + K = 0$

خطوة 4.2.1.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$4 + 4 - \frac{8}{3} + K = 0$

خطوة 4.2.2

أضف $4$ و $4$ .

$8 - \frac{8}{3} + K = 0$

خطوة 4.2.3

لكتابة $8$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$8 \cdot \frac{3}{3} - \frac{8}{3} + K = 0$

خطوة 4.2.4

اجمع $8$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8 \cdot 3}{3} - \frac{8}{3} + K = 0$

خطوة 4.2.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{8 \cdot 3 - 8}{3} + K = 0$

خطوة 4.2.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.6.1

اضرب $8$ في $3$ .

$\frac{24 - 8}{3} + K = 0$

خطوة 4.2.6.2

اطرح $8$ من $24$ .

$\frac{16}{3} + K = 0$

خطوة 4.3

اطرح $\frac{16}{3}$ من كلا المتعادلين.

$K = - \frac{16}{3}$

خطوة 5

عوّض بـ $- \frac{16}{3}$ عن $K$ في $y = x^{2} + \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} + K$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $K$ التي تساوي $- \frac{16}{3}$ .

$y = x^{2} + \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} - \frac{16}{3}$

خطوة 5.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اجمع $\frac{1}{4}$ و $x^{4}$ .

$y = x^{2} + \frac{x^{4}}{4} - \frac{1}{3} x^{3} - \frac{16}{3}$

خطوة 5.2.2

اجمع $x^{3}$ و $\frac{1}{3}$ .

$y = x^{2} + \frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{3}}{3} - \frac{16}{3}$