حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y d x = (y e^{y} - 2 x) d y$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية لتناسب المعادلة التفضيلية التامة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اطرح $(y e^{y} - 2 x) d y$ من كلا المتعادلين.

$y d x - (y e^{y} - 2 x) d y = 0$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

خطوة 3

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = - (y e^{y} - 2 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (y e^{y} - 2 x)]$

خطوة 3.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- (y e^{y} - 2 x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [y e^{y} - 2 x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [y e^{y} - 2 x]$

خطوة 3.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y e^{y} - 2 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [y e^{y}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [y e^{y}] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

خطوة 3.4

بما أن $y e^{y}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $y e^{y}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

خطوة 3.5

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [- 2 x]$

خطوة 3.6

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.7

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \cdot 1$

خطوة 3.9

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2$

خطوة 4

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بـ $1$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $2$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$1 = 2$

خطوة 4.2

بما أن الطرف الأيسر لا يساوي الطرف الأيمن، إذن المعادلة لا تمثل متطابقة.

$1 = 2$ لا تمثل متطابقة.

خطوة 5

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $\frac{\partial N}{\partial x}$ التي تساوي $2$ .

$\frac{2 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

خطوة 5.2

عوّض بقيمة $\frac{\partial M}{\partial y}$ التي تساوي $1$ .

$\frac{2 - 1}{M}$

خطوة 5.3

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $y$ .

$\frac{2 - 1}{y}$

خطوة 5.3.2

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $y$ .

$\frac{1}{y}$

خطوة 5.4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{y} d y}$

خطوة 6

احسِب قيمة تكامل $e^{\int \frac{1}{y} d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |) + C}$

خطوة 6.2

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط.

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |)} + C$

خطوة 6.2.2

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$μ (x, y) = | y | + C$

خطوة 7

اضرب كلا طرفي $y d x - (y e^{y} - 2 x) d y = 0$ في عامل التكامل $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب $y$ في $y$ .

$y \cdot y d x - (y e^{y} - 2 x) d y = 0$

خطوة 7.2

اضرب $y$ في $y$ .

$y^{2} d x - (y e^{y} - 2 x) d y = 0$

خطوة 7.3

اضرب $- (y e^{y} - 2 x)$ في $y$ .

$y^{2} d x - (y e^{y} - 2 x) y d y = 0$

خطوة 7.4

طبّق خاصية التوزيع.

$y^{2} d x + (- (y e^{y}) - (- 2 x)) y d y = 0$

خطوة 7.5

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$y^{2} d x + (- y e^{y} + 2 x) y d y = 0$

خطوة 7.6

طبّق خاصية التوزيع.

$y^{2} d x + (- y e^{y} y + 2 x y) d y = 0$

خطوة 7.7

اضرب $y$ في $y$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.7.1

انقُل $y$ .

$y^{2} d x + (- (y \cdot y) e^{y} + 2 x y) d y = 0$

خطوة 7.7.2

اضرب $y$ في $y$ .

$y^{2} d x + (- y^{2} e^{y} + 2 x y) d y = 0$

خطوة 8

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y^{2} d x$

خطوة 9

أوجِد التكامل لـ $M (x, y) = y^{2}$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

طبّق قاعدة الثابت.

$f (x, y) = y^{2} x + C$

خطوة 10

بما أن تكامل $g (y)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (y)$ .

$f (x, y) = y^{2} x + g (y)$

خطوة 11

عيّن $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = - y^{2} e^{y} + 2 x y$

خطوة 12

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} x + g (y)] = - y^{2} e^{y} + 2 x y$

خطوة 12.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y^{2} x + g (y)$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - y^{2} e^{y} + 2 x y$

خطوة 12.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [y^{2} x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.1

بما أن $x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $y^{2} x$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - y^{2} e^{y} + 2 x y$

خطوة 12.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$x (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - y^{2} e^{y} + 2 x y$

خطوة 12.3.3

انقُل $2$ إلى يسار $x$ .

$2 x y + \frac{d}{d y} [g (y)] = - y^{2} e^{y} + 2 x y$

خطوة 12.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (y)$ هو $\frac{d g}{d y}$ .

$2 x y + \frac{d g}{d y} = - y^{2} e^{y} + 2 x y$

خطوة 12.5

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d y} + 2 x y = - y^{2} e^{y} + 2 x y$

خطوة 13

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d g}{d y}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1

اطرح $2 x y$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d y} = - y^{2} e^{y} + 2 x y - 2 x y$

خطوة 13.1.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $- y^{2} e^{y} + 2 x y - 2 x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.2.1

اطرح $2 x y$ من $2 x y$ .

$\frac{d g}{d y} = - y^{2} e^{y} + 0$

خطوة 13.1.2.2

أضف $- y^{2} e^{y}$ و $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - y^{2} e^{y}$

خطوة 14

أوجِد المشتق العكسي لـ $- y^{2} e^{y}$ لإيجاد $g (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d y} = - y^{2} e^{y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - y^{2} e^{y} d y$

خطوة 14.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - y^{2} e^{y} d y$

خطوة 14.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$g (y) = - \int y^{2} e^{y} d y$

خطوة 14.4

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = y^{2}$ و $d v = e^{y}$ .

$g (y) = - (y^{2} e^{y} - \int e^{y} (2 y) d y)$

خطوة 14.5

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$g (y) = - (y^{2} e^{y} - (2 \int e^{y} (y) d y))$

خطوة 14.6

اضرب $2$ في $- 1$ .

$g (y) = - (y^{2} e^{y} - 2 \int e^{y} (y) d y)$

خطوة 14.7

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = y$ و $d v = e^{y}$ .

$g (y) = - (y^{2} e^{y} - 2 (y e^{y} - \int e^{y} d y))$

خطوة 14.8

تكامل $e^{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $e^{y}$ .

$g (y) = - (y^{2} e^{y} - 2 (y e^{y} - (e^{y} + C)))$

خطوة 14.9

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.9.1

أعِد كتابة $- (y^{2} e^{y} - 2 (y e^{y} - (e^{y} + C)))$ بالصيغة $- (y^{2} e^{y} - 2 y e^{y} + 2 e^{y}) + C$ .

$g (y) = - (y^{2} e^{y} - 2 y e^{y} + 2 e^{y}) + C$

خطوة 14.9.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.9.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$g (y) = - (y^{2} e^{y}) - (- 2 y e^{y}) - (2 e^{y}) + C$

خطوة 14.9.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.9.2.2.1

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$g (y) = - y^{2} e^{y} + 2 (y e^{y}) - (2 e^{y}) + C$

خطوة 14.9.2.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$g (y) = - y^{2} e^{y} + 2 (y e^{y}) - 2 e^{y} + C$

$g (y) = - y^{2} e^{y} + 2 y e^{y} - 2 e^{y} + C$

خطوة 15

عوّض عن $g (y)$ في $f (x, y) = y^{2} x + g (y)$ .

$f (x, y) = y^{2} x - y^{2} e^{y} + 2 y e^{y} - 2 e^{y} + C$