حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y}$ , $y (0) = - 1$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x}{y}$

خطوة 1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x}{y}$

خطوة 1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y \frac{d y}{d x} = x$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$y d y = x d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int y d y = \int x d x$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int x d x$

خطوة 2.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{2} x^{2} + K$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كلا المتعادلين في $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

خطوة 3.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

بسّط $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

خطوة 3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

خطوة 3.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

بسّط $2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + K)$

خطوة 3.2.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y^{2} = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 K$

خطوة 3.2.2.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$y^{2} = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 K$

خطوة 3.2.2.1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} = x^{2} + 2 K$

خطوة 3.3

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \pm \sqrt{x^{2} + 2 K}$

خطوة 3.4

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$y = \sqrt{x^{2} + 2 K}$

خطوة 3.4.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$y = - \sqrt{x^{2} + 2 K}$

خطوة 3.4.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$y = \sqrt{x^{2} + 2 K}$

$y = - \sqrt{x^{2} + 2 K}$

$y = \sqrt{x^{2} + 2 K}$

$y = - \sqrt{x^{2} + 2 K}$

$y = \sqrt{x^{2} + 2 K}$

$y = - \sqrt{x^{2} + 2 K}$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$y = \sqrt{x^{2} + K}$

$y = - \sqrt{x^{2} + K}$

خطوة 5

بما أن $y$ يساوي قيمة سالبة في الشرط الابتدائي $(0, - 1)$ ، انظر فقط $y = - \sqrt{x^{2} + K}$ لإيجاد $K$ . وعوّض بـ $0$ عن $x$ وبـ $- 1$ عن $y$ .

$- 1 = - \sqrt{0^{2} + K}$

خطوة 6

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $- \sqrt{0^{2} + K} = - 1$ .

$- \sqrt{0^{2} + K} = - 1$

خطوة 6.2

لحذف الجذر في المتعادل الأيسر، ربّع كلا المتعادلين.

${(- \sqrt{0^{2} + K})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

خطوة 6.3

بسّط كل متعادل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{0^{2} + K}$ في صورة ${(0^{2} + K)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- {(0^{2} + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

خطوة 6.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1

بسّط ${(- {(0^{2} + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

${(- {(0 + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

خطوة 6.3.2.1.2

أضف $0$ و $K$ .

${(- K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

خطوة 6.3.2.1.3

طبّق قاعدة الضرب على $- K^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {(K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

خطوة 6.3.2.1.4

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$1 {(K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

خطوة 6.3.2.1.5

اضرب ${(K^{\frac{1}{2}})}^{2}$ في $1$ .

${(K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

خطوة 6.3.2.1.6

اضرب الأُسس في ${(K^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.6.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$K^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 1)}^{2}$

خطوة 6.3.2.1.6.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.6.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$K^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 1)}^{2}$

خطوة 6.3.2.1.6.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$K^{1} = {(- 1)}^{2}$

خطوة 6.3.2.1.7

بسّط.

$K = {(- 1)}^{2}$

خطوة 6.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.3.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$K = 1$

خطوة 7

عوّض بـ $1$ عن $K$ في $y = - \sqrt{x^{2} + K}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

عوّض بقيمة $K$ التي تساوي $1$ .

$y = - \sqrt{x^{2} + 1}$