حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = 4 \cdot x^{3} - 3 \cdot x^{2} + x$ , $y (1) = 0$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = (4 \cdot x^{3} - 3 \cdot x^{2} + x) d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int 4 \cdot x^{3} - 3 \cdot x^{2} + x d x$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int 4 \cdot x^{3} - 3 \cdot x^{2} + x d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$y + C_{1} = \int 4 \cdot x^{3} d x + \int - 3 \cdot x^{2} d x + \int x d x$

خطوة 2.3.2

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = 4 \int x^{3} d x + \int - 3 \cdot x^{2} d x + \int x d x$

خطوة 2.3.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) + \int - 3 \cdot x^{2} d x + \int x d x$

خطوة 2.3.4

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 3$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 3 \int x^{2} d x + \int x d x$

خطوة 2.3.5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + \int x d x$

خطوة 2.3.6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

خطوة 2.3.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.1.1

اجمع $\frac{1}{4}$ و $x^{4}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{2}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

خطوة 2.3.7.1.2

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{2}) - 3 (\frac{x^{3}}{3} + C_{3}) + \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

خطوة 2.3.7.2

بسّط.

$y + C_{1} = x^{4} - x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + C_{5}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$y = x^{4} - x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + K$

خطوة 3

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $K$ بالتعويض بـ $1$ عن $x$ وبـ $0$ عن $y$ في $y = x^{4} - x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + K$ .

$0 = 1^{4} - 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + K$

خطوة 4

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $1^{4} - 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + K = 0$ .

$1^{4} - 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + K = 0$

خطوة 4.2

بسّط $1^{4} - 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$1 - 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + K = 0$

خطوة 4.2.1.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$1 - 1 \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + K = 0$

خطوة 4.2.1.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$1 - 1 + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + K = 0$

خطوة 4.2.1.4

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$1 - 1 + \frac{1}{2} \cdot 1 + K = 0$

خطوة 4.2.1.5

اضرب $\frac{1}{2}$ في $1$ .

$1 - 1 + \frac{1}{2} + K = 0$

خطوة 4.2.2

بسّط بطرح الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

اطرح $1$ من $1$ .

$0 + \frac{1}{2} + K = 0$

خطوة 4.2.2.2

أضف $0$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} + K = 0$

خطوة 4.3

اطرح $\frac{1}{2}$ من كلا المتعادلين.

$K = - \frac{1}{2}$

خطوة 5

عوّض بـ $- \frac{1}{2}$ عن $K$ في $y = x^{4} - x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + K$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $K$ التي تساوي $- \frac{1}{2}$ .

$y = x^{4} - x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2}$

خطوة 5.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$y = x^{4} - x^{3} + \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2}$