حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y}{x^{2} - y^{2}}$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية في صورة الدالة $\frac{y}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب $\frac{x y}{x^{2} - y^{2}}$ في $\frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y}{x^{2} - y^{2}} \cdot \frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}$

خطوة 1.2

اضرب $\frac{x y}{x^{2} - y^{2}}$ في $\frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y \frac{1}{x^{2}}}{(x^{2} - y^{2}) \frac{1}{x^{2}}}$

خطوة 1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y \frac{1}{x^{2}}}{x^{2} \frac{1}{x^{2}} - y^{2} \frac{1}{x^{2}}}$

خطوة 1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y \frac{1}{x^{2}}}{x^{2} \frac{1}{x^{2}} - y^{2} \frac{1}{x^{2}}}$

خطوة 1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y \frac{1}{x^{2}}}{1 - y^{2} \frac{1}{x^{2}}}$

خطوة 1.5

اجمع $\frac{1}{x^{2}}$ و $y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y \frac{1}{x^{2}}}{1 - \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

خطوة 1.6

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

أخرِج العامل $x$ من $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y) \frac{1}{x^{2}}}{1 - \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

خطوة 1.6.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y) \frac{1}{x \cdot x}}{1 - \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

خطوة 1.6.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y \frac{1}{x \cdot x}}{1 - \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

خطوة 1.6.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \frac{1}{x}}{1 - \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

خطوة 1.7

اجمع $y$ و $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x}}{1 - \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

خطوة 1.8

استخدِم قوة قاعدة القسمة $\frac{a^{m}}{b^{m}} = {(\frac{a}{b})}^{m}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x}}{1 - {(\frac{y}{x})}^{2}}$

خطوة 2

افترض أن $V = \frac{y}{x}$ . عوّض بـ $V$ عن $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{V}{1 - V^{2}}$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ في $V = \frac{y}{x}$ .

$y = V x$

خطوة 4

استخدِم قاعدة الضرب لإيجاد مشتق $y = V x$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

خطوة 5

عوّض بقيمة $\frac{d y}{d x}$ التي تساوي $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{1 - V^{2}}$

خطوة 6

أوجِد حل المعادلة التفاضلية المُعوض عنها.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

أوجِد قيمة $\frac{d V}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.1.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{1^{2} - V^{2}}$

خطوة 6.1.1.1.2

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = 1$ و $b = V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{(1 + V) (1 - V)}$

خطوة 6.1.1.2

اطرح $V$ من كلا المتعادلين.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{(1 + V) (1 - V)} - V$

خطوة 6.1.1.3

اقسِم كل حد في $x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{(1 + V) (1 - V)} - V$ على $x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.3.1

اقسِم كل حد في $x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{(1 + V) (1 - V)} - V$ على $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V}{(1 + V) (1 - V)}}{x} + \frac{- V}{x}$

خطوة 6.1.1.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V}{(1 + V) (1 - V)}}{x} + \frac{- V}{x}$

خطوة 6.1.1.3.2.1.2

اقسِم $\frac{d V}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{(1 + V) (1 - V)}}{x} + \frac{- V}{x}$

خطوة 6.1.1.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.3.3.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{(1 + V) (1 - V)} - V}{x}$

خطوة 6.1.1.3.3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.3.3.2.1

أخرِج العامل $V$ من $\frac{V}{(1 + V) (1 - V)} - V$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.3.3.2.1.1

أخرِج العامل $V$ من $\frac{V}{(1 + V) (1 - V)}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1}{(1 + V) (1 - V)} - V}{x}$

خطوة 6.1.1.3.3.2.1.2

أخرِج العامل $V$ من $- V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1}{(1 + V) (1 - V)} + V \cdot - 1}{x}$

خطوة 6.1.1.3.3.2.1.3

أخرِج العامل $V$ من $V \frac{1}{(1 + V) (1 - V)} + V \cdot - 1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (\frac{1}{(1 + V) (1 - V)} - 1)}{x}$

خطوة 6.1.1.3.3.2.2

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{(1 + V) (1 - V)}{(1 + V) (1 - V)}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (\frac{1}{(1 + V) (1 - V)} - 1 \cdot \frac{(1 + V) (1 - V)}{(1 + V) (1 - V)})}{x}$

خطوة 6.1.1.3.3.2.3

اجمع $- 1$ و $\frac{(1 + V) (1 - V)}{(1 + V) (1 - V)}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (\frac{1}{(1 + V) (1 - V)} + \frac{- ((1 + V) (1 - V))}{(1 + V) (1 - V)})}{x}$

خطوة 6.1.1.3.3.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - ((1 + V) (1 - V))}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

خطوة 6.1.1.3.3.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.3.3.2.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 + (- 1 \cdot 1 - V) (1 - V)}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

خطوة 6.1.1.3.3.2.5.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 + (- 1 - V) (1 - V)}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

خطوة 6.1.1.3.3.2.5.3

وسّع $(- 1 - V) (1 - V)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.3.3.2.5.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 (1 - V) - V (1 - V)}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

خطوة 6.1.1.3.3.2.5.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 \cdot 1 - 1 (- V) - V (1 - V)}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

خطوة 6.1.1.3.3.2.5.3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 \cdot 1 - 1 (- V) - V \cdot 1 - V (- V)}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

خطوة 6.1.1.3.3.2.5.4

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.3.3.2.5.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.3.3.2.5.4.1.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 - 1 (- V) - V \cdot 1 - V (- V)}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

خطوة 6.1.1.3.3.2.5.4.1.2

اضرب $- 1 (- V)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.3.3.2.5.4.1.2.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + 1 V - V \cdot 1 - V (- V)}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

خطوة 6.1.1.3.3.2.5.4.1.2.2

اضرب $V$ في $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V \cdot 1 - V (- V)}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

خطوة 6.1.1.3.3.2.5.4.1.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V - V (- V)}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

خطوة 6.1.1.3.3.2.5.4.1.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V - 1 \cdot - 1 V \cdot V}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

خطوة 6.1.1.3.3.2.5.4.1.5

اضرب $V$ في $V$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.3.3.2.5.4.1.5.1

انقُل $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V - 1 \cdot - 1 (V \cdot V)}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

خطوة 6.1.1.3.3.2.5.4.1.5.2

اضرب $V$ في $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V - 1 \cdot - 1 V^{2}}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

خطوة 6.1.1.3.3.2.5.4.1.6

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V + 1 V^{2}}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

خطوة 6.1.1.3.3.2.5.4.1.7

اضرب $V^{2}$ في $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V + V^{2}}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

خطوة 6.1.1.3.3.2.5.4.2

اطرح $V$ من $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + 0 + V^{2}}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

خطوة 6.1.1.3.3.2.5.4.3

أضف $- 1$ و $0$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V^{2}}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

خطوة 6.1.1.3.3.2.5.5

اطرح $1$ من $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{0 + V^{2}}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

خطوة 6.1.1.3.3.2.5.6

أضف $0$ و $V^{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{V^{2}}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

خطوة 6.1.1.3.3.3

اجمع $V$ و $\frac{V^{2}}{(1 + V) (1 - V)}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V \cdot V^{2}}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

خطوة 6.1.1.3.3.4

اضرب $V$ في $V^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.3.3.4.1

اضرب $V$ في $V^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.3.3.4.1.1

ارفع $V$ إلى القوة $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{1} V^{2}}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

خطوة 6.1.1.3.3.4.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{1 + 2}}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

خطوة 6.1.1.3.3.4.2

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{3}}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

خطوة 6.1.1.3.3.5

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{3}}{(1 + V) (1 - V)} \cdot \frac{1}{x}$

خطوة 6.1.1.3.3.6

اجمع.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{3} \cdot 1}{(1 + V) (1 - V) x}$

خطوة 6.1.1.3.3.7

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.3.3.7.1

اضرب $V^{3}$ في $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{3}}{(1 + V) (1 - V) x}$

خطوة 6.1.1.3.3.7.2

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{V^{3}}{(1 + V) (1 - V) x}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{3}}{x (1 + V) (1 - V)}$

خطوة 6.1.2

أعِد تجميع العوامل.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{3}}{(1 + V) (1 - V)} \cdot \frac{1}{x}$

خطوة 6.1.3

اضرب كلا الطرفين في $\frac{(1 + V) (1 - V)}{V^{3}}$ .

$\frac{(1 + V) (1 - V)}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) (1 - V)}{V^{3}} (\frac{V^{3}}{(1 + V) (1 - V)} \cdot \frac{1}{x})$

خطوة 6.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.4.1

اجمع.

$\frac{(1 + V) (1 - V)}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) (1 - V)}{V^{3}} \cdot \frac{V^{3} \cdot 1}{(1 + V) (1 - V) x}$

خطوة 6.1.4.2

اجمع.

$\frac{(1 + V) (1 - V)}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) (1 - V) (V^{3} \cdot 1)}{V^{3} ((1 + V) (1 - V) x)}$

خطوة 6.1.4.3

ألغِ العامل المشترك لـ $1 + V$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.4.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(1 + V) (1 - V)}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) (1 - V) (V^{3} \cdot 1)}{V^{3} ((1 + V) (1 - V) x)}$

خطوة 6.1.4.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{(1 + V) (1 - V)}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 - V) (V^{3} \cdot 1)}{V^{3} ((1 - V) x)}$

خطوة 6.1.4.4

ألغِ العامل المشترك لـ $1 - V$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.4.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(1 + V) (1 - V)}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 - V) (V^{3} \cdot 1)}{V^{3} ((1 - V) x)}$

خطوة 6.1.4.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{(1 + V) (1 - V)}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{V^{3} \cdot 1}{V^{3} (x)}$

خطوة 6.1.4.5

ألغِ العامل المشترك لـ $V^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.4.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(1 + V) (1 - V)}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{V^{3} \cdot 1}{V^{3} x}$

خطوة 6.1.4.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{(1 + V) (1 - V)}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

خطوة 6.1.5

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{(1 + V) (1 - V)}{V^{3}} d V = \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{(1 + V) (1 - V)}{V^{3}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

انقُل $V^{3}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\int (1 + V) (1 - V) {(V^{3})}^{- 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.2

اضرب الأُسس في ${(V^{3})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (1 + V) (1 - V) V^{3 \cdot - 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.2.2

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\int (1 + V) (1 - V) V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.3

وسّع $(1 + V) (1 - V) V^{- 3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\int (1 (1 - V) + V (1 - V)) V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\int (1 \cdot 1 + 1 (- V) + V (1 - V)) V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\int (1 \cdot 1 + 1 (- V) + V \cdot 1 + V (- V)) V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.3.4

طبّق خاصية التوزيع.

$\int (1 \cdot 1 + 1 (- V)) V^{- 3} + (V \cdot 1 + V (- V)) V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.3.5

طبّق خاصية التوزيع.

$\int 1 \cdot 1 V^{- 3} + 1 (- V) V^{- 3} + (V \cdot 1 + V (- V)) V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.3.6

طبّق خاصية التوزيع.

$\int 1 \cdot 1 V^{- 3} + 1 (- V) V^{- 3} + V \cdot 1 V^{- 3} + V (- V) V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.3.7

أعِد ترتيب $V$ و $1$ .

$\int 1 \cdot 1 V^{- 3} + 1 \cdot - 1 V \cdot V^{- 3} + 1 \cdot V \cdot V^{- 3} + V (- V) V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.3.8

أعِد ترتيب $V$ و $- 1$ .

$\int 1 \cdot 1 V^{- 3} + 1 \cdot - 1 V \cdot V^{- 3} + 1 \cdot V \cdot V^{- 3} - 1 \cdot V \cdot V \cdot V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.3.9

اضرب $1$ في $1$ .

$\int 1 V^{- 3} + 1 \cdot - 1 V \cdot V^{- 3} + 1 V \cdot V^{- 3} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.3.10

اضرب $V^{- 3}$ في $1$ .

$\int V^{- 3} + 1 \cdot - 1 V \cdot V^{- 3} + 1 V \cdot V^{- 3} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.3.11

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\int V^{- 3} - V \cdot V^{- 3} + 1 V \cdot V^{- 3} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.3.12

أخرِج السالب.

$\int V^{- 3} - (V \cdot V^{- 3}) + 1 V \cdot V^{- 3} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.3.13

ارفع $V$ إلى القوة $1$ .

$\int V^{- 3} - (V^{1} V^{- 3}) + 1 V \cdot V^{- 3} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.3.14

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int V^{- 3} - V^{1 - 3} + 1 V \cdot V^{- 3} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.3.15

اطرح $3$ من $1$ .

$\int V^{- 3} - V^{- 2} + 1 V \cdot V^{- 3} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.3.16

اضرب $V$ في $1$ .

$\int V^{- 3} - V^{- 2} + V \cdot V^{- 3} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.3.17

ارفع $V$ إلى القوة $1$ .

$\int V^{- 3} - V^{- 2} + V^{1} V^{- 3} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.3.18

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int V^{- 3} - V^{- 2} + V^{1 - 3} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.3.19

اطرح $3$ من $1$ .

$\int V^{- 3} - V^{- 2} + V^{- 2} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.3.20

أخرِج السالب.

$\int V^{- 3} - V^{- 2} + V^{- 2} - (V \cdot V) V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.3.21

ارفع $V$ إلى القوة $1$ .

$\int V^{- 3} - V^{- 2} + V^{- 2} - (V^{1} V) V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.3.22

ارفع $V$ إلى القوة $1$ .

$\int V^{- 3} - V^{- 2} + V^{- 2} - (V^{1} V^{1}) V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.3.23

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int V^{- 3} - V^{- 2} + V^{- 2} - V^{1 + 1} V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.3.24

أضف $1$ و $1$ .

$\int V^{- 3} - V^{- 2} + V^{- 2} - V^{2} V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.3.25

أخرِج السالب.

$\int V^{- 3} - V^{- 2} + V^{- 2} - (V^{2} V^{- 3}) d V = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.3.26

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int V^{- 3} - V^{- 2} + V^{- 2} - V^{2 - 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.3.27

اطرح $3$ من $2$ .

$\int V^{- 3} - V^{- 2} + V^{- 2} - V^{- 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.3.28

أضف $- V^{- 2}$ و $V^{- 2}$ .

$\int V^{- 3} + 0 - V^{- 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.3.29

اطرح $V^{- 1}$ من $0$ .

$\int V^{- 3} - V^{- 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.3.30

أعِد ترتيب $V^{- 3}$ و $- V^{- 1}$ .

$\int - V^{- 1} + V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int - V^{- 1} d V + \int V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $V$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int V^{- 1} d V + \int V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.6

تكامل $V^{- 1}$ بالنسبة إلى $V$ هو $\ln (| V |)$ .

$- (\ln (| V |) + C_{1}) + \int V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $V^{- 3}$ بالنسبة إلى $V$ هو $- \frac{1}{2} V^{- 2}$ .

$- (\ln (| V |) + C_{1}) - \frac{1}{2} V^{- 2} + C_{2} = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.8.1

بسّط.

$- \ln (| V |) - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{V^{2}} + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.8.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.8.2.1

اضرب $\frac{1}{V^{2}}$ في $\frac{1}{2}$ .

$- \ln (| V |) - \frac{1}{V^{2} \cdot 2} + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.8.2.2

انقُل $2$ إلى يسار $V^{2}$ .

$- \ln (| V |) - \frac{1}{2 V^{2}} + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.9

أعِد ترتيب الحدود.

$- \frac{1}{2 V^{2}} - \ln (| V |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.3

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{2 V^{2}} - \ln (| V |) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4}$

خطوة 6.2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$- \frac{1}{2 V^{2}} - \ln (| V |) = \ln (| x |) + C$

خطوة 7

عوّض بقيمة $V$ التي تساوي $\frac{y}{x}$ .

$- \frac{1}{2 {(\frac{y}{x})}^{2}} - \ln (| \frac{y}{x} |) = \ln (| x |) + C$

خطوة 8

أوجِد قيمة $y$ في $- \frac{1}{2 {(\frac{y}{x})}^{2}} - \ln (| \frac{y}{x} |) = \ln (| x |) + C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$- \ln (| \frac{y}{x} |) - \ln (| x |) = \frac{1}{2 {(\frac{y}{x})}^{2}} + C$

خطوة 8.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{y}{x}$ .

$- \ln (| \frac{y}{x} |) - \ln (| x |) = \frac{1}{2 (\frac{y^{2}}{x^{2}})} + C$

خطوة 8.2.2

اجمع $2$ و $\frac{y^{2}}{x^{2}}$ .

$- \ln (| \frac{y}{x} |) - \ln (| x |) = \frac{1}{\frac{2 y^{2}}{x^{2}}} + C$

خطوة 8.2.3

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$- \ln (| \frac{y}{x} |) - \ln (| x |) = 1 (\frac{x^{2}}{2 y^{2}}) + C$

خطوة 8.2.4

اضرب $\frac{x^{2}}{2 y^{2}}$ في $1$ .

$- \ln (| \frac{y}{x} |) - \ln (| x |) = \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + C$

خطوة 8.3

اقسِم كل حد في $- \ln (| \frac{y}{x} |) = \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + C + \ln (| x |)$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

اقسِم كل حد في $- \ln (| \frac{y}{x} |) = \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + C + \ln (| x |)$ على $- 1$ .

$\frac{- \ln (| \frac{y}{x} |)}{- 1} = \frac{\frac{x^{2}}{2 y^{2}}}{- 1} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

خطوة 8.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{\ln (| \frac{y}{x} |)}{1} = \frac{\frac{x^{2}}{2 y^{2}}}{- 1} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

خطوة 8.3.2.2

اقسِم $\ln (| \frac{y}{x} |)$ على $1$ .

$\ln (| \frac{y}{x} |) = \frac{\frac{x^{2}}{2 y^{2}}}{- 1} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

خطوة 8.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.3.1.1

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{\frac{x^{2}}{2 y^{2}}}{- 1}$ .

$\ln (| \frac{y}{x} |) = - 1 \cdot \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

خطوة 8.3.3.1.2

أعِد كتابة $- 1 \cdot \frac{x^{2}}{2 y^{2}}$ بالصيغة $- \frac{x^{2}}{2 y^{2}}$ .

$\ln (| \frac{y}{x} |) = - \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

خطوة 8.3.3.1.3

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| \frac{y}{x} |) = - \frac{x^{2}}{2 y^{2}} - 1 \cdot C + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

خطوة 8.3.3.1.4

أعِد كتابة $- 1 \cdot C$ بالصيغة $- C$ .

$\ln (| \frac{y}{x} |) = - \frac{x^{2}}{2 y^{2}} - C + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

خطوة 8.3.3.1.5

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{\ln (| x |)}{- 1}$ .

$\ln (| \frac{y}{x} |) = - \frac{x^{2}}{2 y^{2}} - C - 1 \cdot \ln (| x |)$

خطوة 8.3.3.1.6

أعِد كتابة $- 1 \cdot \ln (| x |)$ بالصيغة $- \ln (| x |)$ .

$\ln (| \frac{y}{x} |) = - \frac{x^{2}}{2 y^{2}} - C - \ln (| x |)$

خطوة 8.4

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$\ln (| \frac{y}{x} |) + \ln (| x |) = - \frac{x^{2}}{2 y^{2}} - C$

خطوة 8.5

استخدِم خاصية الضرب في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| \frac{y}{x} | | x |) = - \frac{x^{2}}{2 y^{2}} - C$

خطوة 8.6

اضرب $| \frac{y}{x} | | x |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.6.1

لضرب القيم المطلقة، اضرب الحدود الموجودة داخل كل قيمة مطلقة.

$\ln (| \frac{y}{x} \cdot x |) = - \frac{x^{2}}{2 y^{2}} - C$

خطوة 8.6.2

اجمع $\frac{y}{x}$ و $x$ .

$\ln (| \frac{y x}{x} |) = - \frac{x^{2}}{2 y^{2}} - C$

خطوة 8.7

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.7.1

ألغِ العامل المشترك.

$\ln (| \frac{y x}{x} |) = - \frac{x^{2}}{2 y^{2}} - C$

خطوة 8.7.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$\ln (| y |) = - \frac{x^{2}}{2 y^{2}} - C$