حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(- 3 x + 2) \frac{d y}{d x} = y$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اقسِم كل حد في $(- 3 x + 2) \frac{d y}{d x} = y$ على $- 3 x + 2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

اقسِم كل حد في $(- 3 x + 2) \frac{d y}{d x} = y$ على $- 3 x + 2$ .

$\frac{(- 3 x + 2) \frac{d y}{d x}}{- 3 x + 2} = \frac{y}{- 3 x + 2}$

خطوة 1.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 3 x + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(- 3 x + 2) \frac{d y}{d x}}{- 3 x + 2} = \frac{y}{- 3 x + 2}$

خطوة 1.1.2.1.2

اقسِم $\frac{d y}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{- 3 x + 2}$

خطوة 1.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- 3 x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{- (3 x) + 2}$

خطوة 1.1.3.2

أعِد كتابة $2$ بالصيغة $- 1 (- 2)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{- (3 x) - 1 (- 2)}$

خطوة 1.1.3.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- (3 x) - 1 (- 2)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{- (3 x - 2)}$

خطوة 1.1.3.4

أعِد كتابة السوالب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.4.1

أعِد كتابة $- (3 x - 2)$ بالصيغة $- 1 (3 x - 2)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{- 1 (3 x - 2)}$

خطوة 1.1.3.4.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{3 x - 2}$

خطوة 1.2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (- \frac{y}{3 x - 2})$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{3 x - 2}$

خطوة 1.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{y}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{y}{3 x - 2}$

خطوة 1.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{y}{3 x - 2}$

خطوة 1.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{3 x - 2}$

خطوة 1.4

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{3 x - 2} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{1}{3 x - 2} d x$

خطوة 2.2

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{3 x - 2} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{3 x - 2} d x$

خطوة 2.3.2

لنفترض أن $u = 3 x - 2$ . إذن $d u = 3 d x$ ، لذا $\frac{1}{3} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

افترض أن $u = 3 x - 2$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

أوجِد مشتقة $3 x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [3 x - 2]$

خطوة 2.3.2.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x - 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

خطوة 2.3.2.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.3.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

خطوة 2.3.2.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

خطوة 2.3.2.1.3.3

اضرب $3$ في $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- 2]$

خطوة 2.3.2.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.4.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$3 + 0$

خطوة 2.3.2.1.4.2

أضف $3$ و $0$ .

$3$

خطوة 2.3.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u$

خطوة 2.3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

اضرب $\frac{1}{u}$ في $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u \cdot 3} d u$

خطوة 2.3.3.2

انقُل $3$ إلى يسار $u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{3 u} d u$

خطوة 2.3.4

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u)$

خطوة 2.3.5

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{2})$

خطوة 2.3.6

بسّط.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{3} \ln (| u |) + C_{2}$

خطوة 2.3.7

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $3 x - 2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{3} \ln (| 3 x - 2 |) + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\ln (| y |) = - \frac{1}{3} \ln (| 3 x - 2 |) + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

اجمع $\ln (| 3 x - 2 |)$ و $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| y |) = - \frac{\ln (| 3 x - 2 |)}{3} + C$

خطوة 3.2

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| 3 x - 2 |)}{3} = C$

خطوة 3.3

لكتابة $\ln (| y |)$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\ln (| y |) \cdot \frac{3}{3} + \frac{\ln (| 3 x - 2 |)}{3} = C$

خطوة 3.4

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

اجمع $\ln (| y |)$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\ln (| y |) \cdot 3}{3} + \frac{\ln (| 3 x - 2 |)}{3} = C$

خطوة 3.4.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\ln (| y |) \cdot 3 + \ln (| 3 x - 2 |)}{3} = C$

خطوة 3.5

انقُل $3$ إلى يسار $\ln (| y |)$ .

$\frac{3 \ln (| y |) + \ln (| 3 x - 2 |)}{3} = C$

خطوة 3.6

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

بسّط $\frac{3 \ln (| y |) + \ln (| 3 x - 2 |)}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1.1.1

بسّط $3 \ln (| y |)$ بنقل $3$ داخل اللوغاريتم.

$\frac{\ln ({| y |}^{3}) + \ln (| 3 x - 2 |)}{3} = C$

خطوة 3.6.1.1.2

استخدِم خاصية الضرب في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\ln ({| y |}^{3} | 3 x - 2 |)}{3} = C$

خطوة 3.6.1.2

أعِد كتابة $\frac{\ln ({| y |}^{3} | 3 x - 2 |)}{3}$ بالصيغة $\frac{1}{3} \ln ({| y |}^{3} | 3 x - 2 |)$ .

$\frac{1}{3} \ln ({| y |}^{3} | 3 x - 2 |) = C$

خطوة 3.6.1.3

بسّط $\frac{1}{3} \ln ({| y |}^{3} | 3 x - 2 |)$ بنقل $\frac{1}{3}$ داخل اللوغاريتم.

$\ln ({({| y |}^{3} | 3 x - 2 |)}^{\frac{1}{3}}) = C$

خطوة 3.6.1.4

طبّق قاعدة الضرب على ${| y |}^{3} | 3 x - 2 |$ .

$\ln ({({| y |}^{3})}^{\frac{1}{3}} {| 3 x - 2 |}^{\frac{1}{3}}) = C$

خطوة 3.6.1.5

اضرب الأُسس في ${({| y |}^{3})}^{\frac{1}{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1.5.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln ({| y |}^{3 (\frac{1}{3})} {| 3 x - 2 |}^{\frac{1}{3}}) = C$

خطوة 3.6.1.5.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1.5.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\ln ({| y |}^{3 (\frac{1}{3})} {| 3 x - 2 |}^{\frac{1}{3}}) = C$

خطوة 3.6.1.5.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\ln ({| y |}^{1} {| 3 x - 2 |}^{\frac{1}{3}}) = C$

خطوة 3.6.1.6

بسّط.

$\ln (| y | {| 3 x - 2 |}^{\frac{1}{3}}) = C$

خطوة 3.6.1.7

أعِد ترتيب العوامل في $\ln (| y | {| 3 x - 2 |}^{\frac{1}{3}})$ .

$\ln ({| 3 x - 2 |}^{\frac{1}{3}} | y |) = C$

خطوة 3.7

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln ({| 3 x - 2 |}^{\frac{1}{3}} | y |)} = e^{C}$

خطوة 3.8

أعِد كتابة $\ln ({| 3 x - 2 |}^{\frac{1}{3}} | y |) = C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{C} = {| 3 x - 2 |}^{\frac{1}{3}} | y |$

خطوة 3.9

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة ${| 3 x - 2 |}^{\frac{1}{3}} | y | = e^{C}$ .

${| 3 x - 2 |}^{\frac{1}{3}} | y | = e^{C}$

خطوة 3.9.2

اقسِم كل حد في ${| 3 x - 2 |}^{\frac{1}{3}} | y | = e^{C}$ على ${| 3 x - 2 |}^{\frac{1}{3}}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.2.1

اقسِم كل حد في ${| 3 x - 2 |}^{\frac{1}{3}} | y | = e^{C}$ على ${| 3 x - 2 |}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{{| 3 x - 2 |}^{\frac{1}{3}} | y |}{{| 3 x - 2 |}^{\frac{1}{3}}} = \frac{e^{C}}{{| 3 x - 2 |}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 3.9.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{{| 3 x - 2 |}^{\frac{1}{3}} | y |}{{| 3 x - 2 |}^{\frac{1}{3}}} = \frac{e^{C}}{{| 3 x - 2 |}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 3.9.2.2.2

اقسِم $| y |$ على $1$ .

$| y | = \frac{e^{C}}{{| 3 x - 2 |}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 3.9.3

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$y = \pm \frac{e^{C}}{{| 3 x - 2 |}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 4

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط ثابت التكامل.

$y = \pm \frac{C}{{| 3 x - 2 |}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 4.2

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$y = C \frac{1}{{| 3 x - 2 |}^{\frac{1}{3}}}$