حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 (1 + 3 y)}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{1 + 3 y}$ .

$\frac{1}{1 + 3 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + 3 y} \cdot \frac{6 (1 + 3 y)}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

خطوة 1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $1 + 3 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أخرِج العامل $1 + 3 y$ من $6 (1 + 3 y)$ .

$\frac{1}{1 + 3 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + 3 y} \cdot \frac{(1 + 3 y) \cdot 6}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

خطوة 1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{1 + 3 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + 3 y} \cdot \frac{(1 + 3 y) \cdot 6}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

خطوة 1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{1 + 3 y} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{1 + 3 y} d y = \frac{6}{{(1 + 2 x)}^{2}} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{1 + 3 y} d y = \int \frac{6}{{(1 + 2 x)}^{2}} d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لنفترض أن $u_{1} = 1 + 3 y$ . إذن $d u_{1} = 3 d y$ ، لذا $\frac{1}{3} d u_{1} = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

افترض أن $u_{1} = 1 + 3 y$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.1

أوجِد مشتقة $1 + 3 y$ .

$\frac{d}{d y} [1 + 3 y]$

خطوة 2.2.1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + 3 y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [3 y]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [3 y]$

خطوة 2.2.1.1.2.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [3 y]$

خطوة 2.2.1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [3 y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.3.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $3 y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + 3 \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 2.2.1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 + 3 \cdot 1$

خطوة 2.2.1.1.3.3

اضرب $3$ في $1$ .

$0 + 3$

خطوة 2.2.1.1.4

أضف $0$ و $3$ .

$3$

خطوة 2.2.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1} = \int \frac{6}{{(1 + 2 x)}^{2}} d x$

خطوة 2.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

اضرب $\frac{1}{u_{1}}$ في $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 3} d u_{1} = \int \frac{6}{{(1 + 2 x)}^{2}} d x$

خطوة 2.2.2.2

انقُل $3$ إلى يسار $u_{1}$ .

$\int \frac{1}{3 u_{1}} d u_{1} = \int \frac{6}{{(1 + 2 x)}^{2}} d x$

خطوة 2.2.3

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{6}{{(1 + 2 x)}^{2}} d x$

خطوة 2.2.4

تكامل $\frac{1}{u_{1}}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{6}{{(1 + 2 x)}^{2}} d x$

خطوة 2.2.5

بسّط.

$\frac{1}{3} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{6}{{(1 + 2 x)}^{2}} d x$

خطوة 2.2.6

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $1 + 3 y$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 1 + 3 y |) + C_{1} = \int \frac{6}{{(1 + 2 x)}^{2}} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $6$ خارج التكامل.

$\frac{1}{3} \ln (| 1 + 3 y |) + C_{1} = 6 \int \frac{1}{{(1 + 2 x)}^{2}} d x$

خطوة 2.3.2

لنفترض أن $u_{2} = 1 + 2 x$ . إذن $d u_{2} = 2 d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

افترض أن $u_{2} = 1 + 2 x$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

أوجِد مشتقة $1 + 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

خطوة 2.3.2.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + 2 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 2.3.2.1.2.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 2.3.2.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.2.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 + 2 \cdot 1$

خطوة 2.3.2.1.3.3

اضرب $2$ في $1$ .

$0 + 2$

خطوة 2.3.2.1.4

أضف $0$ و $2$ .

$2$

خطوة 2.3.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 1 + 3 y |) + C_{1} = 6 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

خطوة 2.3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

اضرب $\frac{1}{{u_{2}}^{2}}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 1 + 3 y |) + C_{1} = 6 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2} \cdot 2} d u_{2}$

خطوة 2.3.3.2

انقُل $2$ إلى يسار ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 1 + 3 y |) + C_{1} = 6 \int \frac{1}{2 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

خطوة 2.3.4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{3} \ln (| 1 + 3 y |) + C_{1} = 6 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2})$

خطوة 2.3.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $6$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 1 + 3 y |) + C_{1} = \frac{6}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

خطوة 2.3.5.1.2

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 1 + 3 y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

خطوة 2.3.5.1.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 1 + 3 y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

خطوة 2.3.5.1.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{3} \ln (| 1 + 3 y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

خطوة 2.3.5.1.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{3} \ln (| 1 + 3 y |) + C_{1} = \frac{3}{1} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

خطوة 2.3.5.1.2.2.4

اقسِم $3$ على $1$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 1 + 3 y |) + C_{1} = 3 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

خطوة 2.3.5.2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.2.1

انقُل ${u_{2}}^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 1 + 3 y |) + C_{1} = 3 \int {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

خطوة 2.3.5.2.2

اضرب الأُسس في ${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 1 + 3 y |) + C_{1} = 3 \int {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

خطوة 2.3.5.2.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 1 + 3 y |) + C_{1} = 3 \int {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

خطوة 2.3.6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل ${u_{2}}^{- 2}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $- {u_{2}}^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 1 + 3 y |) + C_{1} = 3 (- {u_{2}}^{- 1} + C_{2})$

خطوة 2.3.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.1

أعِد كتابة $3 (- {u_{2}}^{- 1} + C_{2})$ بالصيغة $3 (- \frac{1}{u_{2}}) + C_{2}$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 1 + 3 y |) + C_{1} = 3 (- \frac{1}{u_{2}}) + C_{2}$

خطوة 2.3.7.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.2.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 1 + 3 y |) + C_{1} = - 3 \frac{1}{u_{2}} + C_{2}$

خطوة 2.3.7.2.2

اجمع $- 3$ و $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 1 + 3 y |) + C_{1} = \frac{- 3}{u_{2}} + C_{2}$

خطوة 2.3.7.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{3} \ln (| 1 + 3 y |) + C_{1} = - \frac{3}{u_{2}} + C_{2}$

خطوة 2.3.8

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $1 + 2 x$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 1 + 3 y |) + C_{1} = - \frac{3}{1 + 2 x} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 1 + 3 y |) = - \frac{3}{1 + 2 x} + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كلا المتعادلين في $3$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 + 3 y |)) = 3 (- \frac{3}{1 + 2 x} + C)$

خطوة 3.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

بسّط $3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 + 3 y |))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $\ln (| 1 + 3 y |)$ .

$3 \frac{\ln (| 1 + 3 y |)}{3} = 3 (- \frac{3}{1 + 2 x} + C)$

خطوة 3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$3 \frac{\ln (| 1 + 3 y |)}{3} = 3 (- \frac{3}{1 + 2 x} + C)$

خطوة 3.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\ln (| 1 + 3 y |) = 3 (- \frac{3}{1 + 2 x} + C)$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

بسّط $3 (- \frac{3}{1 + 2 x} + C)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

لكتابة $C$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{1 + 2 x}{1 + 2 x}$ .

$\ln (| 1 + 3 y |) = 3 (- \frac{3}{1 + 2 x} + \frac{C (1 + 2 x)}{1 + 2 x})$

خطوة 3.2.2.1.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\ln (| 1 + 3 y |) = 3 \frac{- 3 + C (1 + 2 x)}{1 + 2 x}$

خطوة 3.2.2.1.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\ln (| 1 + 3 y |) = 3 \frac{- 3 + C \cdot 1 + C (2 x)}{1 + 2 x}$

خطوة 3.2.2.1.3.2

اضرب $C$ في $1$ .

$\ln (| 1 + 3 y |) = 3 \frac{- 3 + C + C (2 x)}{1 + 2 x}$

خطوة 3.2.2.1.3.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\ln (| 1 + 3 y |) = 3 \frac{- 3 + C + 2 C x}{1 + 2 x}$

خطوة 3.2.2.1.4

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.4.1

اجمع $3$ و $\frac{- 3 + C + 2 C x}{1 + 2 x}$ .

$\ln (| 1 + 3 y |) = \frac{3 (- 3 + C + 2 C x)}{1 + 2 x}$

خطوة 3.2.2.1.4.2

أعِد كتابة $- 3$ بالصيغة $- 1 (3)$ .

$\ln (| 1 + 3 y |) = \frac{3 (- 1 (3) + C + 2 C x)}{1 + 2 x}$

خطوة 3.2.2.1.4.3

أخرِج العامل $- 1$ من $C$ .

$\ln (| 1 + 3 y |) = \frac{3 (- 1 (3) - 1 (- C) + 2 C x)}{1 + 2 x}$

خطوة 3.2.2.1.4.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (3) - 1 (- C)$ .

$\ln (| 1 + 3 y |) = \frac{3 (- 1 (3 - C) + 2 C x)}{1 + 2 x}$

خطوة 3.2.2.1.4.5

أخرِج العامل $- 1$ من $2 C x$ .

$\ln (| 1 + 3 y |) = \frac{3 (- 1 (3 - C) - (- 2 C x))}{1 + 2 x}$

خطوة 3.2.2.1.4.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (3 - C) - (- 2 C x)$ .

$\ln (| 1 + 3 y |) = \frac{3 (- 1 (3 - C - 2 C x))}{1 + 2 x}$

خطوة 3.2.2.1.4.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$\ln (| 1 + 3 y |) = - \frac{3 (3 - C - 2 C x)}{1 + 2 x}$

خطوة 3.3

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (| 1 + 3 y |)} = e^{- \frac{3 (3 - C - 2 C x)}{1 + 2 x}}$

خطوة 3.4

أعِد كتابة $\ln (| 1 + 3 y |) = - \frac{3 (3 - C - 2 C x)}{1 + 2 x}$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{3 (3 - C - 2 C x)}{1 + 2 x}} = | 1 + 3 y |$

خطوة 3.5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $| 1 + 3 y | = e^{- \frac{3 (3 - C - 2 C x)}{1 + 2 x}}$ .

$| 1 + 3 y | = e^{- \frac{3 (3 - C - 2 C x)}{1 + 2 x}}$

خطوة 3.5.2

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$1 + 3 y = \pm e^{- \frac{3 (3 - C - 2 C x)}{1 + 2 x}}$

خطوة 3.5.3

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$3 y = \pm e^{- \frac{3 (3 - C - 2 C x)}{1 + 2 x}} - 1$

خطوة 3.5.4

اقسِم كل حد في $3 y = \pm e^{- \frac{3 (3 - C - 2 C x)}{1 + 2 x}} - 1$ على $3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.1

اقسِم كل حد في $3 y = \pm e^{- \frac{3 (3 - C - 2 C x)}{1 + 2 x}} - 1$ على $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{\pm e^{- \frac{3 (3 - C - 2 C x)}{1 + 2 x}}}{3} + \frac{- 1}{3}$

خطوة 3.5.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 y}{3} = \frac{\pm e^{- \frac{3 (3 - C - 2 C x)}{1 + 2 x}}}{3} + \frac{- 1}{3}$

خطوة 3.5.4.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\pm e^{- \frac{3 (3 - C - 2 C x)}{1 + 2 x}}}{3} + \frac{- 1}{3}$

خطوة 3.5.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.3.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{\pm e^{- \frac{3 (3 - C - 2 C x)}{1 + 2 x}} - 1}{3}$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$y = \frac{\pm e^{- \frac{3 (C + C x)}{1 + 2 x}} - 1}{3}$