حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$2 x y y' = y^{2} - x^{2}$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية.

$2 x y \frac{d y}{d x} = y^{2} - x^{2}$

خطوة 2

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية في صورة الدالة $\frac{y}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اقسِم كل حد في $2 x y \frac{d y}{d x} = y^{2} - x^{2}$ على $2 x y$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

اقسِم كل حد في $2 x y \frac{d y}{d x} = y^{2} - x^{2}$ على $2 x y$ .

$\frac{2 x y \frac{d y}{d x}}{2 x y} = \frac{y^{2}}{2 x y} + \frac{- x^{2}}{2 x y}$

خطوة 2.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x y \frac{d y}{d x}}{2 x y} = \frac{y^{2}}{2 x y} + \frac{- x^{2}}{2 x y}$

خطوة 2.1.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{y^{2}}{2 x y} + \frac{- x^{2}}{2 x y}$

خطوة 2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{y^{2}}{2 x y} + \frac{- x^{2}}{2 x y}$

خطوة 2.1.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{y^{2}}{2 x y} + \frac{- x^{2}}{2 x y}$

خطوة 2.1.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{y^{2}}{2 x y} + \frac{- x^{2}}{2 x y}$

خطوة 2.1.2.3.2

اقسِم $\frac{d y}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{2 x y} + \frac{- x^{2}}{2 x y}$

خطوة 2.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1.1

احذِف العامل المشترك لـ $y^{2}$ و $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1.1.1

أخرِج العامل $y$ من $y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{2 x y} + \frac{- x^{2}}{2 x y}$

خطوة 2.1.3.1.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1.1.2.1

أخرِج العامل $y$ من $2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y (2 x)} + \frac{- x^{2}}{2 x y}$

خطوة 2.1.3.1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y (2 x)} + \frac{- x^{2}}{2 x y}$

خطوة 2.1.3.1.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x} + \frac{- x^{2}}{2 x y}$

خطوة 2.1.3.1.2

احذِف العامل المشترك لـ $x^{2}$ و $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1.2.1

أخرِج العامل $x$ من $- x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x} + \frac{x (- x)}{2 x y}$

خطوة 2.1.3.1.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1.2.2.1

أخرِج العامل $x$ من $2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x} + \frac{x (- x)}{x (2 y)}$

خطوة 2.1.3.1.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x} + \frac{x (- x)}{x (2 y)}$

خطوة 2.1.3.1.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x} + \frac{- x}{2 y}$

خطوة 2.1.3.1.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x} - \frac{x}{2 y}$

خطوة 2.2

أخرِج عامل $\frac{y}{x}$ من $\frac{y}{2 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أخرِج العامل $\frac{y}{x}$ من $\frac{y}{2 x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} \cdot \frac{1}{2} - \frac{x}{2 y}$

خطوة 2.2.2

أعِد ترتيب $\frac{y}{x}$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x} - \frac{x}{2 y}$

خطوة 2.3

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية في صورة $f (\frac{y}{x})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أخرِج عامل $\frac{x}{y}$ من $\frac{x}{2 y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أخرِج العامل $\frac{x}{y}$ من $\frac{x}{2 y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x} - (\frac{x}{y} \cdot \frac{1}{2})$

خطوة 2.3.1.2

أعِد ترتيب $\frac{x}{y}$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x} - (\frac{1}{2} \cdot \frac{x}{y})$

خطوة 2.3.2

أعِد كتابة $\frac{x}{y}$ بالصيغة ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x} - (\frac{1}{2} {(\frac{y}{x})}^{- 1})$

خطوة 3

افترض أن $V = \frac{y}{x}$ . عوّض بـ $V$ عن $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} V - (\frac{1}{2} V^{- 1})$

خطوة 4

أوجِد قيمة $y$ في $V = \frac{y}{x}$ .

$y = V x$

خطوة 5

استخدِم قاعدة الضرب لإيجاد مشتق $y = V x$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

خطوة 6

عوّض بقيمة $\frac{d y}{d x}$ التي تساوي $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{1}{2} V - (\frac{1}{2} V^{- 1})$

خطوة 7

أوجِد حل المعادلة التفاضلية المُعوض عنها.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

أوجِد قيمة $\frac{d V}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{2} - \frac{1}{2} V^{- 1}$

خطوة 7.1.1.1.2

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{V}$

خطوة 7.1.1.1.3

اضرب $\frac{1}{V}$ في $\frac{1}{2}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{2} - \frac{1}{V \cdot 2}$

خطوة 7.1.1.1.4

انقُل $2$ إلى يسار $V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{2} - \frac{1}{2 V}$

خطوة 7.1.1.2

اطرح $V$ من كلا المتعادلين.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{2} - \frac{1}{2 V} - V$

خطوة 7.1.1.3

اقسِم كل حد في $x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{2} - \frac{1}{2 V} - V$ على $x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.3.1

اقسِم كل حد في $x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{2} - \frac{1}{2 V} - V$ على $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V}{2}}{x} + \frac{- \frac{1}{2 V}}{x} + \frac{- V}{x}$

خطوة 7.1.1.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V}{2}}{x} + \frac{- \frac{1}{2 V}}{x} + \frac{- V}{x}$

خطوة 7.1.1.3.2.1.2

اقسِم $\frac{d V}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{2}}{x} + \frac{- \frac{1}{2 V}}{x} + \frac{- V}{x}$

خطوة 7.1.1.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.3.3.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{2} - \frac{1}{2 V} - V}{x}$

خطوة 7.1.1.3.3.2

لكتابة $- V$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{2 V} + \frac{V}{2} - V \cdot \frac{2}{2}}{x}$

خطوة 7.1.1.3.3.3

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.3.3.3.1

اجمع $- V$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{2 V} + \frac{V}{2} + \frac{- V \cdot 2}{2}}{x}$

خطوة 7.1.1.3.3.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{2 V} + \frac{V - V \cdot 2}{2}}{x}$

خطوة 7.1.1.3.3.3.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.3.3.3.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.3.3.3.3.1.1

أخرِج العامل $V$ من $V - V \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.3.3.3.3.1.1.1

ارفع $V$ إلى القوة $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{2 V} + \frac{V^{1} - V \cdot 2}{2}}{x}$

خطوة 7.1.1.3.3.3.3.1.1.2

أخرِج العامل $V$ من $V^{1}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{2 V} + \frac{V \cdot 1 - V \cdot 2}{2}}{x}$

خطوة 7.1.1.3.3.3.3.1.1.3

أخرِج العامل $V$ من $- V \cdot 2$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{2 V} + \frac{V \cdot 1 + V (- 1 \cdot 2)}{2}}{x}$

خطوة 7.1.1.3.3.3.3.1.1.4

أخرِج العامل $V$ من $V \cdot 1 + V (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{2 V} + \frac{V (1 - 1 \cdot 2)}{2}}{x}$

خطوة 7.1.1.3.3.3.3.1.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{2 V} + \frac{V (1 - 2)}{2}}{x}$

خطوة 7.1.1.3.3.3.3.1.3

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{2 V} + \frac{V \cdot - 1}{2}}{x}$

خطوة 7.1.1.3.3.3.3.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{2 V} + \frac{- 1 \cdot V}{2}}{x}$

خطوة 7.1.1.3.3.3.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{2 V} - \frac{V}{2}}{x}$

خطوة 7.1.1.3.3.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.3.3.4.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- \frac{1}{2 V} - \frac{V}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.3.3.4.1.1

أعِد ترتيب $- \frac{1}{2 V}$ و $- \frac{V}{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{V}{2} - \frac{1}{2 V}}{x}$

خطوة 7.1.1.3.3.4.1.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- \frac{V}{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- (\frac{V}{2}) - \frac{1}{2 V}}{x}$

خطوة 7.1.1.3.3.4.1.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- \frac{1}{2 V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- (\frac{V}{2}) - (\frac{1}{2 V})}{x}$

خطوة 7.1.1.3.3.4.1.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- (\frac{V}{2}) - (\frac{1}{2 V})$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- (\frac{V}{2} + \frac{1}{2 V})}{x}$

خطوة 7.1.1.3.3.4.2

لكتابة $\frac{V}{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- (\frac{V}{2} \cdot \frac{V}{V} + \frac{1}{2 V})}{x}$

خطوة 7.1.1.3.3.4.3

اضرب $\frac{V}{2}$ في $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- (\frac{V \cdot V}{2 V} + \frac{1}{2 V})}{x}$

خطوة 7.1.1.3.3.4.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{V \cdot V + 1}{2 V}}{x}$

خطوة 7.1.1.3.3.4.5

اضرب $V$ في $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{V^{2} + 1}{2 V}}{x}$

خطوة 7.1.1.3.3.5

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{2} + 1}{2 V} \cdot \frac{1}{x}$

خطوة 7.1.1.3.3.6

اضرب $\frac{1}{x}$ في $\frac{V^{2} + 1}{2 V}$ .

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{2} + 1}{x (2 V)}$

خطوة 7.1.1.3.3.7

انقُل $2$ إلى يسار $x$ .

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{2} + 1}{2 x V}$

خطوة 7.1.2

أعِد تجميع العوامل.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{2} + 1}{2 V} \cdot \frac{1}{x}$

خطوة 7.1.3

اضرب كلا الطرفين في $\frac{2 V}{V^{2} + 1}$ .

$\frac{2 V}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{V^{2} + 1} (- \frac{V^{2} + 1}{2 V} \cdot \frac{1}{x})$

خطوة 7.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.4.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{2 V}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = - \frac{2 V}{V^{2} + 1} (\frac{V^{2} + 1}{2 V} \cdot \frac{1}{x})$

خطوة 7.1.4.2

اضرب $\frac{V^{2} + 1}{2 V}$ في $\frac{1}{x}$ .

$\frac{2 V}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = - \frac{2 V}{V^{2} + 1} \cdot \frac{V^{2} + 1}{2 V x}$

خطوة 7.1.4.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2 V$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.4.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{2 V}{V^{2} + 1}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{2 V}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{- 2 V}{V^{2} + 1} \cdot \frac{V^{2} + 1}{2 V x}$

خطوة 7.1.4.3.2

أخرِج العامل $2 V$ من $- 2 V$ .

$\frac{2 V}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V (- 1)}{V^{2} + 1} \cdot \frac{V^{2} + 1}{2 V x}$

خطوة 7.1.4.3.3

أخرِج العامل $2 V$ من $2 V x$ .

$\frac{2 V}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V (- 1)}{V^{2} + 1} \cdot \frac{V^{2} + 1}{2 V (x)}$

خطوة 7.1.4.3.4

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 V}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V \cdot - 1}{V^{2} + 1} \cdot \frac{V^{2} + 1}{2 V x}$

خطوة 7.1.4.3.5

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2 V}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V^{2} + 1} \cdot \frac{V^{2} + 1}{x}$

خطوة 7.1.4.4

ألغِ العامل المشترك لـ $V^{2} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.4.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 V}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V^{2} + 1} \cdot \frac{V^{2} + 1}{x}$

خطوة 7.1.4.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2 V}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{x}$

خطوة 7.1.5

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{2 V}{V^{2} + 1} d V = - \frac{1}{x} d x$

خطوة 7.2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{2 V}{V^{2} + 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

خطوة 7.2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $V$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$2 \int \frac{V}{V^{2} + 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

خطوة 7.2.2.2

لنفترض أن $u = V^{2} + 1$ . إذن $d u = 2 V d V$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = V d V$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.2.1

افترض أن $u = V^{2} + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d V}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.2.1.1

أوجِد مشتقة $V^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d V} [V^{2} + 1]$

خطوة 7.2.2.2.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $V^{2} + 1$ بالنسبة إلى $V$ هو $\frac{d}{d V} [V^{2}] + \frac{d}{d V} [1]$ .

$\frac{d}{d V} [V^{2}] + \frac{d}{d V} [1]$

خطوة 7.2.2.2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ هو $n V^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 V + \frac{d}{d V} [1]$

خطوة 7.2.2.2.1.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $V$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $V$ هو $0$ .

$2 V + 0$

خطوة 7.2.2.2.1.5

أضف $2 V$ و $0$ .

$2 V$

خطوة 7.2.2.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

خطوة 7.2.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.3.1

اضرب $\frac{1}{u}$ في $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

خطوة 7.2.2.3.2

انقُل $2$ إلى يسار $u$ .

$2 \int \frac{1}{2 u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

خطوة 7.2.2.4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int - \frac{1}{x} d x$

خطوة 7.2.2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.5.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

خطوة 7.2.2.5.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.5.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

خطوة 7.2.2.5.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

خطوة 7.2.2.5.3

اضرب $\int \frac{1}{u} d u$ في $1$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

خطوة 7.2.2.6

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

خطوة 7.2.2.7

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $V^{2} + 1$ .

$\ln (| V^{2} + 1 |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

خطوة 7.2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\ln (| V^{2} + 1 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 7.2.3.2

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$\ln (| V^{2} + 1 |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

خطوة 7.2.3.3

بسّط.

$\ln (| V^{2} + 1 |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

خطوة 7.2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\ln (| V^{2} + 1 |) = - \ln (| x |) + C$

خطوة 7.3

أوجِد قيمة $V$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$\ln (| V^{2} + 1 |) + \ln (| x |) = C$

خطوة 7.3.2

استخدِم خاصية الضرب في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| V^{2} + 1 | | x |) = C$

خطوة 7.3.3

لضرب القيم المطلقة، اضرب الحدود الموجودة داخل كل قيمة مطلقة.

$\ln (| (V^{2} + 1) x |) = C$

خطوة 7.3.4

طبّق خاصية التوزيع.

$\ln (| V^{2} x + 1 x |) = C$

خطوة 7.3.5

اضرب $x$ في $1$ .

$\ln (| V^{2} x + x |) = C$

خطوة 7.3.6

لإيجاد قيمة $V$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (| V^{2} x + x |)} = e^{C}$

خطوة 7.3.7

أعِد كتابة $\ln (| V^{2} x + x |) = C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | V^{2} x + x |$

خطوة 7.3.8

أوجِد قيمة $V$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.8.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $| V^{2} x + x | = e^{C}$ .

$| V^{2} x + x | = e^{C}$

خطوة 7.3.8.2

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$V^{2} x + x = \pm e^{C}$

خطوة 7.3.8.3

اطرح $x$ من كلا المتعادلين.

$V^{2} x = \pm e^{C} - x$

خطوة 7.3.8.4

اقسِم كل حد في $V^{2} x = \pm e^{C} - x$ على $x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.8.4.1

اقسِم كل حد في $V^{2} x = \pm e^{C} - x$ على $x$ .

$\frac{V^{2} x}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- x}{x}$

خطوة 7.3.8.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.8.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.8.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{V^{2} x}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- x}{x}$

خطوة 7.3.8.4.2.1.2

اقسِم $V^{2}$ على $1$ .

$V^{2} = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- x}{x}$

خطوة 7.3.8.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.8.4.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.8.4.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$V^{2} = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- x}{x}$

خطوة 7.3.8.4.3.1.2

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$V^{2} = \frac{\pm e^{C}}{x} - 1$

خطوة 7.3.8.5

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$V = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{C}}{x} - 1}$

خطوة 7.3.8.6

بسّط $\pm \sqrt{\frac{\pm e^{C}}{x} - 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.8.6.1

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x}{x}$ .

$V = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{C}}{x} - 1 \cdot \frac{x}{x}}$

خطوة 7.3.8.6.2

اجمع $- 1$ و $\frac{x}{x}$ .

$V = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- x}{x}}$

خطوة 7.3.8.6.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$V = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{C} - x}{x}}$

خطوة 7.3.8.6.4

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{\pm e^{C} - x}{x}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{\pm e^{C} - x}}{\sqrt{x}}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x}}{\sqrt{x}}$

خطوة 7.3.8.6.5

اضرب $\frac{\sqrt{\pm e^{C} - x}}{\sqrt{x}}$ في $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x}}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

خطوة 7.3.8.6.6

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.8.6.6.1

اضرب $\frac{\sqrt{\pm e^{C} - x}}{\sqrt{x}}$ في $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x} \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}$

خطوة 7.3.8.6.6.2

ارفع $\sqrt{x}$ إلى القوة $1$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}}$

خطوة 7.3.8.6.6.3

ارفع $\sqrt{x}$ إلى القوة $1$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}}$

خطوة 7.3.8.6.6.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

خطوة 7.3.8.6.6.5

أضف $1$ و $1$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

خطوة 7.3.8.6.6.6

أعِد كتابة ${\sqrt{x}}^{2}$ بالصيغة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.8.6.6.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x} \sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 7.3.8.6.6.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x} \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 7.3.8.6.6.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 7.3.8.6.6.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.8.6.6.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 7.3.8.6.6.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x} \sqrt{x}}{x^{1}}$

خطوة 7.3.8.6.6.6.5

بسّط.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x} \sqrt{x}}{x}$

خطوة 7.3.8.6.7

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$V = \pm \frac{\sqrt{(\pm e^{C} - x) x}}{x}$

خطوة 7.3.8.6.8

أعِد ترتيب العوامل في $\pm \frac{\sqrt{(\pm e^{C} - x) x}}{x}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{x (\pm e^{C} - x)}}{x}$

خطوة 7.4

بسّط ثابت التكامل.

$V = \pm \frac{\sqrt{x (C - x)}}{x}$

خطوة 8

عوّض بقيمة $V$ التي تساوي $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{x} = \pm \frac{\sqrt{x (C - x)}}{x}$

خطوة 9

أوجِد قيمة $y$ في $\frac{y}{x} = \pm \frac{\sqrt{x (C - x)}}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

اضرب كلا الطرفين في $x$ .

$\frac{y}{x} x = (\pm \frac{\sqrt{x (C - x)}}{x}) x$

خطوة 9.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y}{x} x = (\pm \frac{\sqrt{x (C - x)}}{x}) x$

خطوة 9.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = (\pm \frac{\sqrt{x (C - x)}}{x}) x$