حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{2} d x + (x y - y) d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2}]$

خطوة 1.2

بما أن $x^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $x^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = x y - y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y - y]$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x y - y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [x y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $x y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y]$

خطوة 2.3.3

اضرب $y$ في $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y + \frac{d}{d x} [- y]$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

بما أن $- y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- y$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y + 0$

خطوة 2.4.2

أضف $y$ و $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $0$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $y$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$0 = y$

خطوة 3.2

بما أن الطرف الأيسر لا يساوي الطرف الأيمن، إذن المعادلة لا تمثل متطابقة.

$0 = y$ لا تمثل متطابقة.

خطوة 4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $\frac{\partial M}{\partial y}$ التي تساوي $0$ .

$\frac{0 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

خطوة 4.2

عوّض بقيمة $\frac{\partial N}{\partial x}$ التي تساوي $y$ .

$\frac{0 - y}{N}$

خطوة 4.3

عوّض بقيمة $N$ التي تساوي $x y - y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عوّض بقيمة $N$ التي تساوي $x y - y$ .

$\frac{0 - y}{x y - y}$

خطوة 4.3.2

اطرح $y$ من $0$ .

$\frac{- y}{x y - y}$

خطوة 4.3.3

أخرِج العامل $y$ من $x y - y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

أخرِج العامل $y$ من $x y$ .

$\frac{- y}{y x - y}$

خطوة 4.3.3.2

أخرِج العامل $y$ من $- y$ .

$\frac{- y}{y x + y \cdot - 1}$

خطوة 4.3.3.3

أخرِج العامل $y$ من $y x + y \cdot - 1$ .

$\frac{- y}{y (x - 1)}$

خطوة 4.3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- y}{y (x - 1)}$

خطوة 4.3.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 1}{x - 1}$

خطوة 4.3.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{x - 1}$

خطوة 4.4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{x - 1} d x}$

خطوة 5

احسِب قيمة تكامل $e^{\int - \frac{1}{x - 1} d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{x - 1} d x}$

خطوة 5.2

لنفترض أن $u = x - 1$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

افترض أن $u = x - 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

أوجِد مشتقة $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

خطوة 5.2.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 5.2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 5.2.1.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 5.2.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 5.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{u} d u}$

خطوة 5.3

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| u |) + C)}$

خطوة 5.4

بسّط.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| u |)} + C$

خطوة 5.5

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x - 1$ .

$μ (x, y) = e^{- \ln (| x - 1 |)} + C$

خطوة 5.6

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

بسّط $- \ln (| x - 1 |)$ بنقل $- 1$ داخل اللوغاريتم.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x - 1 |}^{- 1})} + C$

خطوة 5.6.2

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$μ (x, y) = {| x - 1 |}^{- 1} + C$

خطوة 5.6.3

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| x - 1 |} + C$

خطوة 6

اضرب كلا طرفي $x^{2} d x + (x y - y) d y = 0$ في عامل التكامل $\frac{1}{x - 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $x^{2}$ في $\frac{1}{x - 1}$ .

$x^{2} \frac{1}{x - 1} d x + (x y - y) d y = 0$

خطوة 6.2

اجمع $x^{2}$ و $\frac{1}{x - 1}$ .

$\frac{x^{2}}{x - 1} d x + (x y - y) d y = 0$

خطوة 6.3

اضرب $x y - y$ في $\frac{1}{x - 1}$ .

$\frac{x^{2}}{x - 1} d x + (x y - y) \frac{1}{x - 1} d y = 0$

خطوة 6.4

اضرب $x y - y$ في $\frac{1}{x - 1}$ .

$\frac{x^{2}}{x - 1} d x + \frac{x y - y}{x - 1} d y = 0$

خطوة 6.5

أخرِج العامل $y$ من $x y - y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1

أخرِج العامل $y$ من $x y$ .

$\frac{x^{2}}{x - 1} d x + \frac{y x - y}{x - 1} d y = 0$

خطوة 6.5.2

أخرِج العامل $y$ من $- y$ .

$\frac{x^{2}}{x - 1} d x + \frac{y x + y \cdot - 1}{x - 1} d y = 0$

خطوة 6.5.3

أخرِج العامل $y$ من $y x + y \cdot - 1$ .

$\frac{x^{2}}{x - 1} d x + \frac{y (x - 1)}{x - 1} d y = 0$

خطوة 6.6

ألغِ العامل المشترك لـ $x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x^{2}}{x - 1} d x + \frac{y (x - 1)}{x - 1} d y = 0$

خطوة 6.6.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$\frac{x^{2}}{x - 1} d x + y d y = 0$

خطوة 7

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y d y$

خطوة 8

أوجِد التكامل لـ $N (x, y) = y$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + C$

خطوة 9

بما أن تكامل $g (x)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$

خطوة 10

عيّن $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x^{2}}{x - 1}$

خطوة 11

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2} + g (x)] = \frac{x^{2}}{x - 1}$

خطوة 11.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{1}{2} y^{2} + g (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2}}{x - 1}$

خطوة 11.3

بما أن $\frac{1}{2} y^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $\frac{1}{2} y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2}}{x - 1}$

خطوة 11.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (x)$ هو $\frac{d g}{d x}$ .

$0 + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{2}}{x - 1}$

خطوة 11.5

أضف $0$ و $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{x^{2}}{x - 1}$

خطوة 12

أوجِد المشتق العكسي لـ $\frac{x^{2}}{x - 1}$ لإيجاد $g (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d x} = \frac{x^{2}}{x - 1}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{x^{2}}{x - 1} d x$

خطوة 12.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \frac{x^{2}}{x - 1} d x$

خطوة 12.3

اقسِم $x^{2}$ على $x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

خطوة 12.3.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $x^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

					$x$
	$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

خطوة 12.3.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	-	$x$

خطوة 12.3.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $x^{2} - x$

				$x$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$

خطوة 12.3.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x$

خطوة 12.3.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$x$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x$	+	$0$

خطوة 12.3.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $x$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

				$x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x$	+	$0$

خطوة 12.3.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x$	+	$0$
					+	$x$	-	$1$

خطوة 12.3.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $x - 1$

				$x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x$	+	$0$
					-	$x$	+	$1$

خطوة 12.3.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x$	+	$0$
					-	$x$	+	$1$
							+	$1$

خطوة 12.3.11

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$g (x) = \int x + 1 + \frac{1}{x - 1} d x$

خطوة 12.4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$g (x) = \int x d x + \int d x + \int \frac{1}{x - 1} d x$

خطوة 12.5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C + \int d x + \int \frac{1}{x - 1} d x$

خطوة 12.6

طبّق قاعدة الثابت.

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C + x + C + \int \frac{1}{x - 1} d x$

خطوة 12.7

لنفترض أن $u = x - 1$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.7.1

افترض أن $u = x - 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.7.1.1

أوجِد مشتقة $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

خطوة 12.7.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 12.7.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 12.7.1.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 12.7.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 12.7.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C + x + C + \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 12.8

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C + x + C + \ln (| u |) + C$

خطوة 12.9

بسّط.

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + x + \ln (| u |) + C$

خطوة 12.10

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x - 1$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + x + \ln (| x - 1 |) + C$

خطوة 13

عوّض عن $g (x)$ في $f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + \frac{1}{2} x^{2} + x + \ln (| x - 1 |) + C$

خطوة 14

بسّط $f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + \frac{1}{2} x^{2} + x + \ln (| x - 1 |) + C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} + \frac{1}{2} x^{2} + x + \ln (| x - 1 |) + C$

خطوة 14.1.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} + \frac{x^{2}}{2} + x + \ln (| x - 1 |) + C$

خطوة 14.2

لكتابة $\ln (| x - 1 |)$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + x + \frac{y^{2}}{2} + \ln (| x - 1 |) \cdot \frac{2}{2} + C$

خطوة 14.3

اجمع $\ln (| x - 1 |)$ و $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + x + \frac{y^{2}}{2} + \frac{\ln (| x - 1 |) \cdot 2}{2} + C$

خطوة 14.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + x + \frac{y^{2} + \ln (| x - 1 |) \cdot 2}{2} + C$

خطوة 14.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.5.1

اضرب $\ln (| x - 1 |) \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.5.1.1

أعِد ترتيب $\ln (| x - 1 |)$ و $2$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + x + \frac{y^{2} + 2 \cdot \ln (| x - 1 |)}{2} + C$

خطوة 14.5.1.2

بسّط $2 \cdot \ln (| x - 1 |)$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + x + \frac{y^{2} + \ln ({| x - 1 |}^{2})}{2} + C$

خطوة 14.5.2

احذِف القيمة المطلقة في ${| x - 1 |}^{2}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + x + \frac{y^{2} + \ln ({(x - 1)}^{2})}{2} + C$