حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(x^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = 2 x y$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اقسِم كل حد في $(x^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = 2 x y$ على $x^{2} - 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

اقسِم كل حد في $(x^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = 2 x y$ على $x^{2} - 1$ .

$\frac{(x^{2} - 1) \frac{d y}{d x}}{x^{2} - 1} = \frac{2 x y}{x^{2} - 1}$

خطوة 1.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2} - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(x^{2} - 1) \frac{d y}{d x}}{x^{2} - 1} = \frac{2 x y}{x^{2} - 1}$

خطوة 1.1.2.1.2

اقسِم $\frac{d y}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y}{x^{2} - 1}$

خطوة 1.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y}{x^{2} - 1^{2}}$

خطوة 1.1.3.1.2

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = x$ و $b = 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y}{(x + 1) (x - 1)}$

خطوة 1.2

أعِد تجميع العوامل.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} y$

خطوة 1.3

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (\frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} y)$

خطوة 1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

أخرِج العامل $y$ من $\frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)})$

خطوة 1.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)})$

خطوة 1.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)}$

خطوة 1.5

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{y} d y = \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

خطوة 2.2

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

خطوة 2.3.2

لنفترض أن $u = (x + 1) (x - 1)$ . إذن $d u = 2 x d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

افترض أن $u = (x + 1) (x - 1)$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

أوجِد مشتقة $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 1)]$

خطوة 2.3.2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x + 1$ و $g (x) = x - 1$ .

$(x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

خطوة 2.3.2.1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

خطوة 2.3.2.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

خطوة 2.3.2.1.3.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$(x + 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

خطوة 2.3.2.1.3.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.3.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$(x + 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

خطوة 2.3.2.1.3.4.2

اضرب $x + 1$ في $1$ .

$x + 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

خطوة 2.3.2.1.3.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$x + 1 + (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 2.3.2.1.3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x + 1 + (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 2.3.2.1.3.7

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$x + 1 + (x - 1) (1 + 0)$

خطوة 2.3.2.1.3.8

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.3.8.1

أضف $1$ و $0$ .

$x + 1 + (x - 1) \cdot 1$

خطوة 2.3.2.1.3.8.2

اضرب $x - 1$ في $1$ .

$x + 1 + x - 1$

خطوة 2.3.2.1.3.8.3

أضف $x$ و $x$ .

$2 x + 1 - 1$

خطوة 2.3.2.1.3.8.4

بسّط بطرح الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.3.8.4.1

اطرح $1$ من $1$ .

$2 x + 0$

خطوة 2.3.2.1.3.8.4.2

أضف $2 x$ و $0$ .

$2 x$

خطوة 2.3.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

خطوة 2.3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

اضرب $\frac{1}{u}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

خطوة 2.3.3.2

انقُل $2$ إلى يسار $u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{2 u} d u$

خطوة 2.3.4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

خطوة 2.3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 2.3.5.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 2.3.5.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\ln (| y |) + C_{1} = 1 \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 2.3.5.3

اضرب $\int \frac{1}{u} d u$ في $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 2.3.6

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| u |) + C_{2}$

خطوة 2.3.7

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $(x + 1) (x - 1)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\ln (| y |) = \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$\ln (| y |) - \ln (| (x + 1) (x - 1) |) = C$

خطوة 3.2

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{| (x + 1) (x - 1) |}) = C$

خطوة 3.3

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (\frac{| y |}{| (x + 1) (x - 1) |})} = e^{C}$

خطوة 3.4

أعِد كتابة $\ln (\frac{| y |}{| (x + 1) (x - 1) |}) = C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y |}{| (x + 1) (x - 1) |}$

خطوة 3.5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{| y |}{| (x + 1) (x - 1) |} = e^{C}$ .

$\frac{| y |}{| (x + 1) (x - 1) |} = e^{C}$

خطوة 3.5.2

اضرب كلا الطرفين في $| (x + 1) (x - 1) |$ .

$\frac{| y |}{| (x + 1) (x - 1) |} | (x + 1) (x - 1) | = e^{C} | (x + 1) (x - 1) |$

خطوة 3.5.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $| (x + 1) (x - 1) |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{| y |}{| (x + 1) (x - 1) |} | (x + 1) (x - 1) | = e^{C} | (x + 1) (x - 1) |$

خطوة 3.5.3.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$| y | = e^{C} | (x + 1) (x - 1) |$

خطوة 3.5.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.2.1

بسّط $e^{C} | (x + 1) (x - 1) |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.2.1.1

وسّع $(x + 1) (x - 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.2.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$| y | = e^{C} | x (x - 1) + 1 (x - 1) |$

خطوة 3.5.3.2.1.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$| y | = e^{C} | x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) |$

خطوة 3.5.3.2.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$| y | = e^{C} | x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |$

خطوة 3.5.3.2.1.2

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.2.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.2.1.2.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$| y | = e^{C} | x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |$

خطوة 3.5.3.2.1.2.1.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $x$ .

$| y | = e^{C} | x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 |$

خطوة 3.5.3.2.1.2.1.3

أعِد كتابة $- 1 x$ بالصيغة $- x$ .

$| y | = e^{C} | x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 |$

خطوة 3.5.3.2.1.2.1.4

اضرب $x$ في $1$ .

$| y | = e^{C} | x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 |$

خطوة 3.5.3.2.1.2.1.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$| y | = e^{C} | x^{2} - x + x - 1 |$

خطوة 3.5.3.2.1.2.2

أضف $- x$ و $x$ .

$| y | = e^{C} | x^{2} + 0 - 1 |$

خطوة 3.5.3.2.1.2.3

أضف $x^{2}$ و $0$ .

$| y | = e^{C} | x^{2} - 1 |$

خطوة 3.5.4

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.1

أعِد ترتيب العوامل في $e^{C} | x^{2} - 1 |$ .

$| y | = | x^{2} - 1 | e^{C}$

خطوة 3.5.4.2

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$y = \pm | x^{2} - 1 | e^{C}$

خطوة 4

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط ثابت التكامل.

$y = \pm | x^{2} - 1 | C$

خطوة 4.2

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$y = C | x^{2} - 1 |$