حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} + 3 y = 2 x e^{- 3 x}$

خطوة 1

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عيّن التكامل.

$e^{\int 3 d x}$

خطوة 1.2

طبّق قاعدة الثابت.

$e^{3 x + C}$

خطوة 1.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{3 x}$

خطوة 2

اضرب كل حد في عامل التكامل $e^{3 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب كل حد في $e^{3 x}$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + e^{3 x} (3 y) = e^{3 x} (2 x e^{- 3 x})$

خطوة 2.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = e^{3 x} (2 x e^{- 3 x})$

خطوة 2.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = 2 e^{3 x} (x e^{- 3 x})$

خطوة 2.4

اضرب $e^{3 x}$ في $e^{- 3 x}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

انقُل $e^{- 3 x}$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = 2 (e^{- 3 x} e^{3 x}) x$

خطوة 2.4.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = 2 e^{- 3 x + 3 x} x$

خطوة 2.4.3

أضف $- 3 x$ و $3 x$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = 2 e^{0} x$

خطوة 2.5

بسّط $2 e^{0} x$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = 2 x$

خطوة 2.6

أعِد ترتيب العوامل في $e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = 2 x$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 y e^{3 x} = 2 x$

خطوة 3

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [e^{3 x} y] = 2 x$

خطوة 4

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [e^{3 x} y] d x = \int 2 x d x$

خطوة 5

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$e^{3 x} y = \int 2 x d x$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$e^{3 x} y = 2 \int x d x$

خطوة 6.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

خطوة 6.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

أعِد كتابة $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ بالصيغة $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

خطوة 6.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1

اجمع $2$ و $\frac{1}{2}$ .

$e^{3 x} y = \frac{2}{2} x^{2} + C$

خطوة 6.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$e^{3 x} y = \frac{2}{2} x^{2} + C$

خطوة 6.3.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$e^{3 x} y = 1 x^{2} + C$

خطوة 6.3.2.3

اضرب $x^{2}$ في $1$ .

$e^{3 x} y = x^{2} + C$

خطوة 7

اقسِم كل حد في $e^{3 x} y = x^{2} + C$ على $e^{3 x}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اقسِم كل حد في $e^{3 x} y = x^{2} + C$ على $e^{3 x}$ .

$\frac{e^{3 x} y}{e^{3 x}} = \frac{x^{2}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

خطوة 7.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{3 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{3 x} y}{e^{3 x}} = \frac{x^{2}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

خطوة 7.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$