حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{y - 1}{- y - 1} \cdot \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + x^{2}}$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{y - 1}{- y - 1} d y = \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{y - 1}{- y - 1} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

اقسِم $y - 1$ على $- y - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$y$

$1$

$y$

$1$

خطوة 2.2.1.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $y$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $- y$ .

				-	$1$
-	$y$	-	$1$		$y$	-	$1$

خطوة 2.2.1.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				-	$1$
-	$y$	-	$1$		$y$	-	$1$
				+	$y$	+	$1$

خطوة 2.2.1.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $y + 1$

				-	$1$
-	$y$	-	$1$		$y$	-	$1$
				-	$y$	-	$1$

خطوة 2.2.1.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				-	$1$
-	$y$	-	$1$		$y$	-	$1$
				-	$y$	-	$1$
						-	$2$

خطوة 2.2.1.6

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$\int - 1 - \frac{2}{- y - 1} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 2.2.2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int - 1 d y + \int - \frac{2}{- y - 1} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 2.2.3

طبّق قاعدة الثابت.

$- y + C_{1} + \int - \frac{2}{- y - 1} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 2.2.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- y + C_{1} - \int \frac{2}{- y - 1} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 2.2.5

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$- y + C_{1} - (2 \int \frac{1}{- y - 1} d y) = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 2.2.6

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- y + C_{1} - 2 \int \frac{1}{- y - 1} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 2.2.7

لنفترض أن $u = - y - 1$ . إذن $d u = - d y$ ، لذا $- d u = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.7.1

افترض أن $u = - y - 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.7.1.1

أعِد الكتابة.

$\frac{- 1}{1}$

خطوة 2.2.7.1.2

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$- 1$

خطوة 2.2.7.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$- y + C_{1} - 2 \int \frac{- 1}{u} d u = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 2.2.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$- y + C_{1} - 2 \int - \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 2.2.9

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- y + C_{1} - 2 (- \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 2.2.10

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$- y + C_{1} + 2 \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 2.2.11

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$- y + C_{1} + 2 (\ln (| u |) + C_{2}) = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 2.2.12

بسّط.

$- y + 2 \ln (| u |) + C_{3} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 2.2.13

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- y - 1$ .

$- y + 2 \ln (| - y - 1 |) + C_{3} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$- y + 2 \ln (| - y - 1 |) + C_{3} = \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

خطوة 2.3.2

تكامل $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\arctan (x) + C_{4}$ .

$- y + 2 \ln (| - y - 1 |) + C_{3} = \arctan (x) + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$- y + 2 \ln (| - y - 1 |) = \arctan (x) + C$