حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(y^{2} + 1) d x + x^{2} y^{2} d y = 0$

خطوة 1

اكتب المسألة في صورة عبارة رياضية.

$(y^{2} + 1) d x + x^{2} y^{2} d y = 0$

خطوة 2

اطرح $(y^{2} + 1) d x$ من كلا المتعادلين.

$x^{2} y^{2} d y = - (y^{2} + 1) d x$

خطوة 3

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)}$ .

$\frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (- (y^{2} + 1)) d x$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أخرِج العامل $x^{2}$ من $x^{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (x^{2} (y^{2})) d y = \frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (- (y^{2} + 1)) d x$

خطوة 4.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (- (y^{2} + 1)) d x$

خطوة 4.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y^{2} + 1} y^{2} d y = \frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (- (y^{2} + 1)) d x$

خطوة 4.2

اجمع $\frac{1}{y^{2} + 1}$ و $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{y^{2} + 1} d y = \frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (- (y^{2} + 1)) d x$

خطوة 4.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{y^{2}}{y^{2} + 1} d y = - \frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (y^{2} + 1) d x$

خطوة 4.4

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{2} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{y^{2}}{y^{2} + 1} d y = \frac{- 1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (y^{2} + 1) d x$

خطوة 4.4.2

أخرِج العامل $y^{2} + 1$ من $x^{2} (y^{2} + 1)$ .

$\frac{y^{2}}{y^{2} + 1} d y = \frac{- 1}{(y^{2} + 1) x^{2}} (y^{2} + 1) d x$

خطوة 4.4.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y^{2}}{y^{2} + 1} d y = \frac{- 1}{(y^{2} + 1) x^{2}} (y^{2} + 1) d x$

خطوة 4.4.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y^{2}}{y^{2} + 1} d y = \frac{- 1}{x^{2}} d x$

خطوة 4.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{y^{2}}{y^{2} + 1} d y = - \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 5

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{y^{2}}{y^{2} + 1} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 5.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اقسِم $y^{2}$ على $y^{2} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$y^{2}$

$0 y$

$1$

$y^{2}$

$0 y$

$0$

خطوة 5.2.1.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $y^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $y^{2}$ .

							$1$
	$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$

خطوة 5.2.1.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

						$1$
$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
					+	$y^{2}$	+	$0$	+	$1$

خطوة 5.2.1.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $y^{2} + 0 + 1$

						$1$
$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
					-	$y^{2}$	-	$0$	-	$1$

خطوة 5.2.1.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

						$1$
$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
					-	$y^{2}$	-	$0$	-	$1$
									-	$1$

خطوة 5.2.1.6

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$\int 1 - \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 5.2.2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int d y + \int - \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 5.2.3

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} + \int - \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 5.2.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$y + C_{1} - \int \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 5.2.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.5.1

أعِد ترتيب $y^{2}$ و $1$ .

$y + C_{1} - \int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 5.2.5.2

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$y + C_{1} - \int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 5.2.6

تكامل $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\arctan (y) + C_{2}$ .

$y + C_{1} - (\arctan (y) + C_{2}) = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 5.2.7

بسّط.

$y - \arctan (y) + C_{3} = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 5.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$y - \arctan (y) + C_{3} = - \int \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 5.3.2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

انقُل $x^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$y - \arctan (y) + C_{3} = - \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

خطوة 5.3.2.2

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y - \arctan (y) + C_{3} = - \int x^{2 \cdot - 1} d x$

خطوة 5.3.2.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$y - \arctan (y) + C_{3} = - \int x^{- 2} d x$

خطوة 5.3.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- 2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $- x^{- 1}$ .

$y - \arctan (y) + C_{3} = - (- x^{- 1} + C_{4})$

خطوة 5.3.4

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.1

أعِد كتابة $- (- x^{- 1} + C_{4})$ بالصيغة $- - \frac{1}{x} + C_{4}$ .

$y - \arctan (y) + C_{3} = - - \frac{1}{x} + C_{4}$

خطوة 5.3.4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.2.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$y - \arctan (y) + C_{3} = 1 \frac{1}{x} + C_{4}$

خطوة 5.3.4.2.2

اضرب $\frac{1}{x}$ في $1$ .

$y - \arctan (y) + C_{3} = \frac{1}{x} + C_{4}$

خطوة 5.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$y - \arctan (y) = \frac{1}{x} + K$