حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 \sqrt{x}} + 7$ , $y (4) = - 5$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = (\frac{1}{2 \sqrt{x}} + 7) d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int \frac{1}{2 \sqrt{x}} + 7 d x$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 \sqrt{x}} + 7 d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x + \int 7 d x$

خطوة 2.3.2

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x + \int 7 d x$

خطوة 2.3.3

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x + \int 7 d x$

خطوة 2.3.3.2

انقُل $x^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x + \int 7 d x$

خطوة 2.3.3.3

اضرب الأُسس في ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x + \int 7 d x$

خطوة 2.3.3.3.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int x^{\frac{- 1}{2}} d x + \int 7 d x$

خطوة 2.3.3.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int 7 d x$

خطوة 2.3.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}) + \int 7 d x$

خطوة 2.3.5

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}) + 7 x + C_{3}$

خطوة 2.3.6

بسّط.

$y + C_{1} = x^{\frac{1}{2}} + 7 x + C_{4}$

خطوة 2.3.7

أعِد ترتيب الحدود.

$y + C_{1} = 7 x + x^{\frac{1}{2}} + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$y = 7 x + x^{\frac{1}{2}} + K$

خطوة 3

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $K$ بالتعويض بـ $4$ عن $x$ وبـ $- 5$ عن $y$ في $y = 7 x + x^{\frac{1}{2}} + K$ .

$- 5 = 7 \cdot 4 + 4^{\frac{1}{2}} + K$

خطوة 4

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $7 \cdot 4 + 4^{\frac{1}{2}} + K = - 5$ .

$7 \cdot 4 + 4^{\frac{1}{2}} + K = - 5$

خطوة 4.2

بسّط $7 \cdot 4 + 4^{\frac{1}{2}} + K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

اضرب $7$ في $4$ .

$28 + 4^{\frac{1}{2}} + K = - 5$

خطوة 4.2.1.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$28 + {(2^{2})}^{\frac{1}{2}} + K = - 5$

خطوة 4.2.1.3

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$28 + 2^{2 (\frac{1}{2})} + K = - 5$

خطوة 4.2.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$28 + 2^{2 (\frac{1}{2})} + K = - 5$

خطوة 4.2.1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$28 + 2^{1} + K = - 5$

خطوة 4.2.1.5

احسِب قيمة الأُس.

$28 + 2 + K = - 5$

خطوة 4.2.2

أضف $28$ و $2$ .

$30 + K = - 5$

خطوة 4.3

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $K$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اطرح $30$ من كلا المتعادلين.

$K = - 5 - 30$

خطوة 4.3.2

اطرح $30$ من $- 5$ .

$K = - 35$

خطوة 5

عوّض بـ $- 35$ عن $K$ في $y = 7 x + x^{\frac{1}{2}} + K$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $K$ التي تساوي $- 35$ .

$y = 7 x + x^{\frac{1}{2}} - 35$