حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$3 (y^{4} + 1) d x + 4 x y^{3} d y = 0$

خطوة 1

اطرح $3 (y^{4} + 1) d x$ من كلا المتعادلين.

$4 x y^{3} d y = - 3 (y^{4} + 1) d x$

خطوة 2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{x (y^{4} + 1)}$ .

$\frac{1}{x (y^{4} + 1)} (4 x y^{3}) d y = \frac{1}{x (y^{4} + 1)} (- 3 (y^{4} + 1)) d x$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$4 \frac{1}{x (y^{4} + 1)} (x y^{3}) d y = \frac{1}{x (y^{4} + 1)} (- 3 (y^{4} + 1)) d x$

خطوة 3.2

اجمع $4$ و $\frac{1}{x (y^{4} + 1)}$ .

$\frac{4}{x (y^{4} + 1)} (x y^{3}) d y = \frac{1}{x (y^{4} + 1)} (- 3 (y^{4} + 1)) d x$

خطوة 3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أخرِج العامل $x$ من $x y^{3}$ .

$\frac{4}{x (y^{4} + 1)} (x (y^{3})) d y = \frac{1}{x (y^{4} + 1)} (- 3 (y^{4} + 1)) d x$

خطوة 3.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4}{x (y^{4} + 1)} (x y^{3}) d y = \frac{1}{x (y^{4} + 1)} (- 3 (y^{4} + 1)) d x$

خطوة 3.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{4}{y^{4} + 1} y^{3} d y = \frac{1}{x (y^{4} + 1)} (- 3 (y^{4} + 1)) d x$

خطوة 3.4

اجمع $\frac{4}{y^{4} + 1}$ و $y^{3}$ .

$\frac{4 y^{3}}{y^{4} + 1} d y = \frac{1}{x (y^{4} + 1)} (- 3 (y^{4} + 1)) d x$

خطوة 3.5

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{4 y^{3}}{y^{4} + 1} d y = - 3 \frac{1}{x (y^{4} + 1)} (y^{4} + 1) d x$

خطوة 3.6

اجمع $- 3$ و $\frac{1}{x (y^{4} + 1)}$ .

$\frac{4 y^{3}}{y^{4} + 1} d y = \frac{- 3}{x (y^{4} + 1)} (y^{4} + 1) d x$

خطوة 3.7

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{4} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

أخرِج العامل $y^{4} + 1$ من $x (y^{4} + 1)$ .

$\frac{4 y^{3}}{y^{4} + 1} d y = \frac{- 3}{(y^{4} + 1) x} (y^{4} + 1) d x$

خطوة 3.7.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 y^{3}}{y^{4} + 1} d y = \frac{- 3}{(y^{4} + 1) x} (y^{4} + 1) d x$

خطوة 3.7.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{4 y^{3}}{y^{4} + 1} d y = \frac{- 3}{x} d x$

خطوة 3.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{4 y^{3}}{y^{4} + 1} d y = - \frac{3}{x} d x$

خطوة 4

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{4 y^{3}}{y^{4} + 1} d y = \int - \frac{3}{x} d x$

خطوة 4.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$4 \int \frac{y^{3}}{y^{4} + 1} d y = \int - \frac{3}{x} d x$

خطوة 4.2.2

أعِد كتابة $y^{4}$ بالصيغة ${(y^{4})}^{1}$ .

$4 \int \frac{y^{3}}{{(y^{4})}^{1} + 1} d y = \int - \frac{3}{x} d x$

خطوة 4.2.3

لنفترض أن $u_{1} = y^{4}$ . إذن $d u_{1} = 4 y^{3} d y$ ، لذا $\frac{1}{4} d u_{1} = y^{3} d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

افترض أن $u_{1} = y^{4}$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1.1

أوجِد مشتقة $y^{4}$ .

$\frac{d}{d y} [y^{4}]$

خطوة 4.2.3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$4 y^{3}$

خطوة 4.2.3.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$4 \int \frac{1}{{u_{1}}^{1} + 1} \cdot \frac{1}{4} d u_{1} = \int - \frac{3}{x} d x$

خطوة 4.2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.1

بسّط.

$4 \int \frac{1}{u_{1} + 1} \cdot \frac{1}{4} d u_{1} = \int - \frac{3}{x} d x$

خطوة 4.2.4.2

اضرب $\frac{1}{u_{1} + 1}$ في $\frac{1}{4}$ .

$4 \int \frac{1}{(u_{1} + 1) \cdot 4} d u_{1} = \int - \frac{3}{x} d x$

خطوة 4.2.4.3

انقُل $4$ إلى يسار $u_{1} + 1$ .

$4 \int \frac{1}{4 (u_{1} + 1)} d u_{1} = \int - \frac{3}{x} d x$

خطوة 4.2.5

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$4 (\frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{1} + 1} d u_{1}) = \int - \frac{3}{x} d x$

خطوة 4.2.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.6.1

اجمع $\frac{1}{4}$ و $4$ .

$\frac{4}{4} \int \frac{1}{u_{1} + 1} d u_{1} = \int - \frac{3}{x} d x$

خطوة 4.2.6.2

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.6.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4}{4} \int \frac{1}{u_{1} + 1} d u_{1} = \int - \frac{3}{x} d x$

خطوة 4.2.6.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 \int \frac{1}{u_{1} + 1} d u_{1} = \int - \frac{3}{x} d x$

خطوة 4.2.6.3

اضرب $\int \frac{1}{u_{1} + 1} d u_{1}$ في $1$ .

$\int \frac{1}{u_{1} + 1} d u_{1} = \int - \frac{3}{x} d x$

خطوة 4.2.7

لنفترض أن $u_{2} = u_{1} + 1$ . إذن $d u_{2} = d u_{1}$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.7.1

افترض أن $u_{2} = u_{1} + 1$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.7.1.1

أوجِد مشتقة $u_{1} + 1$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} + 1]$

خطوة 4.2.7.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $u_{1} + 1$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

خطوة 4.2.7.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

خطوة 4.2.7.1.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 4.2.7.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 4.2.7.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int - \frac{3}{x} d x$

خطوة 4.2.8

تكامل $\frac{1}{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| u_{2} |) + C_{1} = \int - \frac{3}{x} d x$

خطوة 4.2.9

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.9.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $u_{1} + 1$ .

$\ln (| u_{1} + 1 |) + C_{1} = \int - \frac{3}{x} d x$

خطوة 4.2.9.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $y^{4}$ .

$\ln (| y^{4} + 1 |) + C_{1} = \int - \frac{3}{x} d x$

خطوة 4.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\ln (| y^{4} + 1 |) + C_{1} = - \int \frac{3}{x} d x$

خطوة 4.3.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$\ln (| y^{4} + 1 |) + C_{1} = - (3 \int \frac{1}{x} d x)$

خطوة 4.3.3

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\ln (| y^{4} + 1 |) + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 4.3.4

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y^{4} + 1 |) + C_{1} = - 3 (\ln (| x |) + C_{2})$

خطوة 4.3.5

بسّط.

$\ln (| y^{4} + 1 |) + C_{1} = - 3 \ln (| x |) + C_{2}$

خطوة 4.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\ln (| y^{4} + 1 |) = - 3 \ln (| x |) + C$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$\ln (| y^{4} + 1 |) + 3 \ln (| x |) = C$

خطوة 5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط $\ln (| y^{4} + 1 |) + 3 \ln (| x |)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

بسّط $3 \ln (| x |)$ بنقل $3$ داخل اللوغاريتم.

$\ln (| y^{4} + 1 |) + \ln ({| x |}^{3}) = C$

خطوة 5.2.1.2

استخدِم خاصية الضرب في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y^{4} + 1 | {| x |}^{3}) = C$

خطوة 5.3

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (| y^{4} + 1 | {| x |}^{3})} = e^{C}$

خطوة 5.4

أعِد كتابة $\ln (| y^{4} + 1 | {| x |}^{3}) = C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | y^{4} + 1 | {| x |}^{3}$

خطوة 5.5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $| y^{4} + 1 | {| x |}^{3} = e^{C}$ .

$| y^{4} + 1 | {| x |}^{3} = e^{C}$

خطوة 5.5.2

اقسِم كل حد في $| y^{4} + 1 | {| x |}^{3} = e^{C}$ على ${| x |}^{3}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1

اقسِم كل حد في $| y^{4} + 1 | {| x |}^{3} = e^{C}$ على ${| x |}^{3}$ .

$\frac{| y^{4} + 1 | {| x |}^{3}}{{| x |}^{3}} = \frac{e^{C}}{{| x |}^{3}}$

خطوة 5.5.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ ${| x |}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{| y^{4} + 1 | {| x |}^{3}}{{| x |}^{3}} = \frac{e^{C}}{{| x |}^{3}}$

خطوة 5.5.2.2.1.2

اقسِم $| y^{4} + 1 |$ على $1$ .

$| y^{4} + 1 | = \frac{e^{C}}{{| x |}^{3}}$

خطوة 5.5.3

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$y^{4} + 1 = \pm \frac{e^{C}}{{| x |}^{3}}$

خطوة 5.5.4

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$y^{4} = \pm \frac{e^{C}}{{| x |}^{3}} - 1$

خطوة 5.5.5

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \pm \sqrt[4]{\pm \frac{e^{C}}{{| x |}^{3}} - 1}$

خطوة 6

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بسّط ثابت التكامل.

$y = \pm \sqrt[4]{\pm \frac{C}{{| x |}^{3}} - 1}$

خطوة 6.2

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$y = \pm \sqrt[4]{C \frac{1}{{| x |}^{3}} - 1}$