حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y d x + 3 x d y = 0$

خطوة 1

اطرح $y d x$ من كلا المتعادلين.

$3 x d y = - y d x$

خطوة 2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{1}{x y} (3 x) d y = \frac{1}{x y} (- y) d x$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$3 \frac{1}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- y) d x$

خطوة 3.2

اجمع $3$ و $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{3}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- y) d x$

خطوة 3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أخرِج العامل $x$ من $x y$ .

$\frac{3}{x (y)} x d y = \frac{1}{x y} (- y) d x$

خطوة 3.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- y) d x$

خطوة 3.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{3}{y} d y = \frac{1}{x y} (- y) d x$

خطوة 3.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{3}{y} d y = - \frac{1}{x y} y d x$

خطوة 3.5

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{x y}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{3}{y} d y = \frac{- 1}{x y} y d x$

خطوة 3.5.2

أخرِج العامل $y$ من $x y$ .

$\frac{3}{y} d y = \frac{- 1}{y x} y d x$

خطوة 3.5.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3}{y} d y = \frac{- 1}{y x} y d x$

خطوة 3.5.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{3}{y} d y = \frac{- 1}{x} d x$

خطوة 3.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{3}{y} d y = - \frac{1}{x} d x$

خطوة 4

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{3}{y} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

خطوة 4.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$3 \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

خطوة 4.2.2

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$3 (\ln (| y |) + C_{1}) = \int - \frac{1}{x} d x$

خطوة 4.2.3

بسّط.

$3 \ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

خطوة 4.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$3 \ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 4.3.2

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$3 \ln (| y |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

خطوة 4.3.3

بسّط.

$3 \ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

خطوة 4.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$3 \ln (| y |) = - \ln (| x |) + C$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$3 \ln (| y |) + \ln (| x |) = C$

خطوة 5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط $3 \ln (| y |) + \ln (| x |)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

بسّط $3 \ln (| y |)$ بنقل $3$ داخل اللوغاريتم.

$\ln ({| y |}^{3}) + \ln (| x |) = C$

خطوة 5.2.1.2

استخدِم خاصية الضرب في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ({| y |}^{3} | x |) = C$

خطوة 5.3

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln ({| y |}^{3} | x |)} = e^{C}$

خطوة 5.4

أعِد كتابة $\ln ({| y |}^{3} | x |) = C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{C} = {| y |}^{3} | x |$

خطوة 5.5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة ${| y |}^{3} | x | = e^{C}$ .

${| y |}^{3} | x | = e^{C}$

خطوة 5.5.2

اقسِم كل حد في ${| y |}^{3} | x | = e^{C}$ على $| x |$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1

اقسِم كل حد في ${| y |}^{3} | x | = e^{C}$ على $| x |$ .

$\frac{{| y |}^{3} | x |}{| x |} = \frac{e^{C}}{| x |}$

خطوة 5.5.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $| x |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{{| y |}^{3} | x |}{| x |} = \frac{e^{C}}{| x |}$

خطوة 5.5.2.2.1.2

اقسِم ${| y |}^{3}$ على $1$ .

${| y |}^{3} = \frac{e^{C}}{| x |}$

خطوة 5.5.3

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$| y | = \sqrt[3]{\frac{e^{C}}{| x |}}$

خطوة 5.5.4

بسّط $\sqrt[3]{\frac{e^{C}}{| x |}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.4.1

أعِد كتابة $\sqrt[3]{\frac{e^{C}}{| x |}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{\sqrt[3]{| x |}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{\sqrt[3]{| x |}}$

خطوة 5.5.4.2

اضرب $\frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{\sqrt[3]{| x |}}$ في $\frac{{\sqrt[3]{| x |}}^{2}}{{\sqrt[3]{| x |}}^{2}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{\sqrt[3]{| x |}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{| x |}}^{2}}{{\sqrt[3]{| x |}}^{2}}$

خطوة 5.5.4.3

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.4.3.1

اضرب $\frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{\sqrt[3]{| x |}}$ في $\frac{{\sqrt[3]{| x |}}^{2}}{{\sqrt[3]{| x |}}^{2}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{| x |}}^{2}}{\sqrt[3]{| x |} {\sqrt[3]{| x |}}^{2}}$

خطوة 5.5.4.3.2

ارفع $\sqrt[3]{| x |}$ إلى القوة $1$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{| x |}}^{2}}{{\sqrt[3]{| x |}}^{1} {\sqrt[3]{| x |}}^{2}}$

خطوة 5.5.4.3.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{| x |}}^{2}}{{\sqrt[3]{| x |}}^{1 + 2}}$

خطوة 5.5.4.3.4

أضف $1$ و $2$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{| x |}}^{2}}{{\sqrt[3]{| x |}}^{3}}$

خطوة 5.5.4.3.5

أعِد كتابة ${\sqrt[3]{| x |}}^{3}$ بالصيغة $| x |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.4.3.5.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[3]{| x |}$ في صورة ${| x |}^{\frac{1}{3}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{| x |}}^{2}}{{({| x |}^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

خطوة 5.5.4.3.5.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{| x |}}^{2}}{{| x |}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

خطوة 5.5.4.3.5.3

اجمع $\frac{1}{3}$ و $3$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{| x |}}^{2}}{{| x |}^{\frac{3}{3}}}$

خطوة 5.5.4.3.5.4

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.4.3.5.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{| x |}}^{2}}{{| x |}^{\frac{3}{3}}}$

خطوة 5.5.4.3.5.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{| x |}}^{2}}{{| x |}^{1}}$

خطوة 5.5.4.3.5.5

بسّط.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{| x |}}^{2}}{| x |}$

خطوة 5.5.4.4

أعِد كتابة ${\sqrt[3]{| x |}}^{2}$ بالصيغة $\sqrt[3]{{| x |}^{2}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} \sqrt[3]{{| x |}^{2}}}{| x |}$

خطوة 5.5.4.5

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C} {| x |}^{2}}}{| x |}$

خطوة 5.5.4.6

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{\sqrt[3]{e^{C} {| x |}^{2}}}{| x |}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{{| x |}^{2} e^{C}}}{| x |}$

خطوة 5.5.5

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[3]{{| x |}^{2} e^{C}}}{| x |}$

خطوة 5.5.6

احذِف القيمة المطلقة في ${| x |}^{2}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$y = \pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{C}}}{| x |}$

خطوة 6

بسّط ثابت التكامل.

$y = \pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} C}}{| x |}$