حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d θ} = \frac{1}{θ^{2}} - \csc (θ) \cot (θ)$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = (\frac{1}{θ^{2}} - \csc (θ) \cot (θ)) d θ$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int \frac{1}{θ^{2}} - \csc (θ) \cot (θ) d θ$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{θ^{2}} - \csc (θ) \cot (θ) d θ$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{θ^{2}} d θ + \int - \csc (θ) \cot (θ) d θ$

خطوة 2.3.2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

انقُل $θ^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$y + C_{1} = \int {(θ^{2})}^{- 1} d θ + \int - \csc (θ) \cot (θ) d θ$

خطوة 2.3.2.2

اضرب الأُسس في ${(θ^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = \int θ^{2 \cdot - 1} d θ + \int - \csc (θ) \cot (θ) d θ$

خطوة 2.3.2.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$y + C_{1} = \int θ^{- 2} d θ + \int - \csc (θ) \cot (θ) d θ$

خطوة 2.3.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $θ^{- 2}$ بالنسبة إلى $θ$ هو $- θ^{- 1}$ .

$y + C_{1} = - θ^{- 1} + C_{2} + \int - \csc (θ) \cot (θ) d θ$

خطوة 2.3.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $θ$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = - θ^{- 1} + C_{2} - \int \csc (θ) \cot (θ) d θ$

خطوة 2.3.5

بما أن مشتق $- \csc (θ)$ هو $\csc (θ) \cot (θ)$ ، إذن تكامل $\csc (θ) \cot (θ)$ هو $- \csc (θ)$ .

$y + C_{1} = - θ^{- 1} + C_{2} - (- \csc (θ) + C_{3})$

خطوة 2.3.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.1

بسّط.

$y + C_{1} = - \frac{1}{θ} - - \csc (θ) + C_{4}$

خطوة 2.3.6.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.2.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{θ} + 1 \csc (θ) + C_{4}$

خطوة 2.3.6.2.2

اضرب $\csc (θ)$ في $1$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{θ} + \csc (θ) + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$y = - \frac{1}{θ} + \csc (θ) + K$