حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x e^{y} d y + (\frac{x^{2} + 1}{y}) d x = 0$

خطوة 1

اطرح $\frac{x^{2} + 1}{y} d x$ من كلا المتعادلين.

$x e^{y} d y = - \frac{x^{2} + 1}{y} d x$

خطوة 2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{x} (x e^{y}) d y = \frac{y}{x} (- \frac{x^{2} + 1}{y}) d x$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أخرِج العامل $x$ من $x e^{y}$ .

$\frac{y}{x} (x (e^{y})) d y = \frac{y}{x} (- \frac{x^{2} + 1}{y}) d x$

خطوة 3.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y}{x} (x e^{y}) d y = \frac{y}{x} (- \frac{x^{2} + 1}{y}) d x$

خطوة 3.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$y e^{y} d y = \frac{y}{x} (- \frac{x^{2} + 1}{y}) d x$

خطوة 3.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$y e^{y} d y = - \frac{y}{x} \cdot \frac{x^{2} + 1}{y} d x$

خطوة 3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{y}{x}$ إلى بسط الكسر.

$y e^{y} d y = \frac{- y}{x} \cdot \frac{x^{2} + 1}{y} d x$

خطوة 3.3.2

أخرِج العامل $y$ من $- y$ .

$y e^{y} d y = \frac{y \cdot - 1}{x} \cdot \frac{x^{2} + 1}{y} d x$

خطوة 3.3.3

ألغِ العامل المشترك.

$y e^{y} d y = \frac{y \cdot - 1}{x} \cdot \frac{x^{2} + 1}{y} d x$

خطوة 3.3.4

أعِد كتابة العبارة.

$y e^{y} d y = \frac{- 1}{x} (x^{2} + 1) d x$

خطوة 3.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$y e^{y} d y = - \frac{1}{x} (x^{2} + 1) d x$

خطوة 3.5

طبّق خاصية التوزيع.

$y e^{y} d y = (- \frac{1}{x} x^{2} - \frac{1}{x} \cdot 1) d x$

خطوة 3.6

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{x}$ إلى بسط الكسر.

$y e^{y} d y = (\frac{- 1}{x} x^{2} - \frac{1}{x} \cdot 1) d x$

خطوة 3.6.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$y e^{y} d y = (\frac{- 1}{x} (x \cdot x) - \frac{1}{x} \cdot 1) d x$

خطوة 3.6.3

ألغِ العامل المشترك.

$y e^{y} d y = (\frac{- 1}{x} (x \cdot x) - \frac{1}{x} \cdot 1) d x$

خطوة 3.6.4

أعِد كتابة العبارة.

$y e^{y} d y = (- x - \frac{1}{x} \cdot 1) d x$

خطوة 3.7

اضرب $- 1$ في $1$ .

$y e^{y} d y = (- x - \frac{1}{x}) d x$

خطوة 4

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int y e^{y} d y = \int - x - \frac{1}{x} d x$

خطوة 4.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = y$ و $d v = e^{y}$ .

$y e^{y} - \int e^{y} d y = \int - x - \frac{1}{x} d x$

خطوة 4.2.2

تكامل $e^{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $e^{y}$ .

$y e^{y} - (e^{y} + C_{1}) = \int - x - \frac{1}{x} d x$

خطوة 4.2.3

بسّط.

$y e^{y} - e^{y} + C_{1} = \int - x - \frac{1}{x} d x$

خطوة 4.2.4

أعِد ترتيب الحدود.

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \int - x - \frac{1}{x} d x$

خطوة 4.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \int - x d x + \int - \frac{1}{x} d x$

خطوة 4.3.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - \int x d x + \int - \frac{1}{x} d x$

خطوة 4.3.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int - \frac{1}{x} d x$

خطوة 4.3.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 4.3.5

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - (\ln (| x |) + C_{3})$

خطوة 4.3.6

بسّط.

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + C_{4}$

خطوة 4.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$e^{y} y - e^{y} = - \frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + C$