حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = y^{- 2} \ln (x)$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{y^{- 2}}$ .

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{- 2}} (y^{- 2} \ln (x))$

خطوة 1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أخرِج العامل $y^{- 2}$ من $y^{- 2} \ln (x)$ .

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{- 2}} (y^{- 2} (\ln (x)))$

خطوة 1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{- 2}} (y^{- 2} \ln (x))$

خطوة 1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = \ln (x)$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{y^{- 2}} d y = \ln (x) d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{y^{- 2}} d y = \int \ln (x) d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

انقُل $y^{- 2}$ إلى بسط الكسر باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$\int y^{2} d y = \int \ln (x) d x$

خطوة 2.2.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \ln (x) d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = \ln (x)$ و $d v = 1$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \ln (x) x - \int x \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

اجمع $x$ و $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x$

خطوة 2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x$

خطوة 2.3.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \ln (x) x - \int d x$

خطوة 2.3.3

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \ln (x) x - (x + C_{2})$

خطوة 2.3.4

بسّط.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \ln (x) x - x + C_{2}$

خطوة 2.3.5

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = x \ln (x) - x + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = x \ln (x) - x + K$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كلا المتعادلين في $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (x \ln (x) - x + K)$

خطوة 3.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

بسّط $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (x \ln (x) - x + K)$

خطوة 3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (x \ln (x) - x + K)$

خطوة 3.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{3} = 3 (x \ln (x) - x + K)$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

بسّط $3 (x \ln (x) - x + K)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y^{3} = 3 (x \ln (x)) + 3 (- x) + 3 K$

خطوة 3.2.2.1.2

اضرب $- 1$ في $3$ .

$y^{3} = 3 x \ln (x) - 3 x + 3 K$

خطوة 3.3

بسّط $3 \ln (x)$ بنقل $3$ داخل اللوغاريتم.

$y^{3} = x \ln (x^{3}) - 3 x + 3 K$

خطوة 3.4

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \sqrt[3]{x \ln (x^{3}) - 3 x + 3 K}$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$y = \sqrt[3]{x \ln (x^{3}) - 3 x + K}$