حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + \frac{d y}{d x} - 12 y = 5 x + 8$

خطوة 1

افترض أن جميع الحلول من صيغة $y = e^{r x}$ .

خطوة 2

أوجِد المعادلة المميزة لـ $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + \frac{d y}{d x} - 12 y = 5 x + 8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الأول.

$\frac{d y}{d x} = r e^{r x}$

خطوة 2.2

أوجِد المشتق الثاني.

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = r^{2} e^{r x}$

خطوة 2.3

عوّض في المعادلة التفاضلية.

$r^{2} e^{r x} + r e^{r x} - 12 e^{r x} = 5 x + 8$

خطوة 2.4

أخرِج عامل $e^{r x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

أخرِج العامل $e^{r x}$ من $r^{2} e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} + r e^{r x} - 12 e^{r x} = 5 x + 8$

خطوة 2.4.2

أخرِج العامل $e^{r x}$ من $r e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} + e^{r x} r - 12 e^{r x} = 5 x + 8$

خطوة 2.4.3

أخرِج العامل $e^{r x}$ من $e^{r x} r^{2} + e^{r x} r$ .

$e^{r x} (r^{2} + r) - 12 e^{r x} = 5 x + 8$

خطوة 2.4.4

أخرِج العامل $e^{r x}$ من $- 12 e^{r x}$ .

$e^{r x} (r^{2} + r) + e^{r x} \cdot - 12 = 5 x + 8$

خطوة 2.4.5

أخرِج العامل $e^{r x}$ من $e^{r x} (r^{2} + r) + e^{r x} \cdot - 12$ .

$e^{r x} (r^{2} + r - 12) = 5 x + 8$

خطوة 2.5

بما أن الأسية لا يمكن أن تساوي صفرًا، إذن اقسم كلا الطرفين على $e^{r x}$ .

$r^{2} + r - 12 = 5 x + 8$

خطوة 3

أوجِد قيمة $r$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

انقُل كل الحدود إلى المتعادل الأيسر وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

انقُل كل العبارات إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1.1

اطرح $5 x$ من كلا المتعادلين.

$r^{2} + r - 12 - 5 x = 8$

خطوة 3.1.1.2

اطرح $8$ من كلا المتعادلين.

$r^{2} + r - 12 - 5 x - 8 = 0$

خطوة 3.1.2

اطرح $8$ من $- 12$ .

$r^{2} + r - 5 x - 20 = 0$

خطوة 3.2

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 3.3

عوّض بقيم $a = 1$ و $b = 1$ و $c = - 5 x - 20$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $r$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- 5 x - 20))}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 5 x - 20)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.4.1.2

اضرب $- 4$ في $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- 5 x - 20)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.4.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 (- 5 x) - 4 \cdot - 20}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.4.1.4

اضرب $- 5$ في $- 4$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 20 x - 4 \cdot - 20}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.4.1.5

اضرب $- 4$ في $- 20$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 20 x + 80}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.4.1.6

أضف $1$ و $80$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{20 x + 81}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.4.2

اضرب $2$ في $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{20 x + 81}}{2}$

خطوة 3.5

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $+$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 5 x - 20)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.5.1.2

اضرب $- 4$ في $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- 5 x - 20)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.5.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 (- 5 x) - 4 \cdot - 20}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.5.1.4

اضرب $- 5$ في $- 4$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 20 x - 4 \cdot - 20}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.5.1.5

اضرب $- 4$ في $- 20$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 20 x + 80}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.5.1.6

أضف $1$ و $80$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{20 x + 81}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.5.2

اضرب $2$ في $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{20 x + 81}}{2}$

خطوة 3.5.3

غيّر $\pm$ إلى $+$ .

$r = \frac{- 1 + \sqrt{20 x + 81}}{2}$

خطوة 3.5.4

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $- 1 (1)$ .

$r = \frac{- 1 \cdot 1 + \sqrt{20 x + 81}}{2}$

خطوة 3.5.5

أخرِج العامل $- 1$ من $\sqrt{20 x + 81}$ .

$r = \frac{- 1 \cdot 1 - 1 (- \sqrt{20 x + 81})}{2}$

خطوة 3.5.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (1) - 1 (- \sqrt{20 x + 81})$ .

$r = \frac{- 1 (1 - \sqrt{20 x + 81})}{2}$

خطوة 3.5.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$r = - \frac{1 - \sqrt{20 x + 81}}{2}$

خطوة 3.6

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $-$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 5 x - 20)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.6.1.2

اضرب $- 4$ في $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- 5 x - 20)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.6.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 (- 5 x) - 4 \cdot - 20}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.6.1.4

اضرب $- 5$ في $- 4$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 20 x - 4 \cdot - 20}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.6.1.5

اضرب $- 4$ في $- 20$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 20 x + 80}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.6.1.6

أضف $1$ و $80$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{20 x + 81}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.6.2

اضرب $2$ في $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{20 x + 81}}{2}$

خطوة 3.6.3

غيّر $\pm$ إلى $-$ .

$r = \frac{- 1 - \sqrt{20 x + 81}}{2}$

خطوة 3.6.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 - \sqrt{20 x + 81}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.4.1

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $- 1 (1)$ .

$r = \frac{- 1 \cdot 1 - \sqrt{20 x + 81}}{2}$

خطوة 3.6.4.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- \sqrt{20 x + 81}$ .

$r = \frac{- 1 \cdot 1 - (\sqrt{20 x + 81})}{2}$

خطوة 3.6.4.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (1) - (\sqrt{20 x + 81})$ .

$r = \frac{- 1 (1 + \sqrt{20 x + 81})}{2}$

خطوة 3.6.4.4

أعِد كتابة $- 1 (1 + \sqrt{20 x + 81})$ بالصيغة $- (1 + \sqrt{20 x + 81})$ .

$r = \frac{- (1 + \sqrt{20 x + 81})}{2}$

خطوة 3.6.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$r = - \frac{1 + \sqrt{20 x + 81}}{2}$

خطوة 3.7

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$r = - \frac{1 - \sqrt{20 x + 81}}{2}$

$r = - \frac{1 + \sqrt{20 x + 81}}{2}$

$r = - \frac{1 - \sqrt{20 x + 81}}{2}$

$r = - \frac{1 + \sqrt{20 x + 81}}{2}$

خطوة 4

باستخدام القيمتين اللتين تم إيجادهما لـ $r$ ، يمكن الوصول إلى حلين.

$y_{1} = e^{- \frac{1 - \sqrt{20 x + 81}}{2} x}$

$y_{2} = e^{- \frac{1 + \sqrt{20 x + 81}}{2} x}$

خطوة 5

وفقًا لمبدأ التراكب، الحل العام هو مجموعة خطية من الحلين لمعادلة تفاضلية خطية متجانسة من الدرجة الثانية.

$y = c_{1} e^{- \frac{1 - \sqrt{20 x + 81}}{2} x} + c_{2} e^{- \frac{1 + \sqrt{20 x + 81}}{2} x}$

خطوة 6

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اجمع $x$ و $\frac{1 - \sqrt{20 x + 81}}{2}$ .

$y = c_{1} e^{- \frac{x (1 - \sqrt{20 x + 81})}{2}} + c_{2} e^{- \frac{1 + \sqrt{20 x + 81}}{2} x}$

خطوة 6.2

اجمع $x$ و $\frac{1 + \sqrt{20 x + 81}}{2}$ .

$y = c_{1} e^{- \frac{x (1 - \sqrt{20 x + 81})}{2}} + c_{2} e^{- \frac{x (1 + \sqrt{20 x + 81})}{2}}$