حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = 7 x^{- 3} + 5 x^{- 1} - 1$ ; , $y (1) = 3$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = (7 x^{- 3} + 5 x^{- 1} - 1) d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int 7 x^{- 3} + 5 x^{- 1} - 1 d x$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int 7 x^{- 3} + 5 x^{- 1} - 1 d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$y + C_{1} = \int 7 x^{- 3} d x + \int 5 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

خطوة 2.3.2

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $7$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = 7 \int x^{- 3} d x + \int 5 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

خطوة 2.3.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- 3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$y + C_{1} = 7 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C_{2}) + \int 5 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

خطوة 2.3.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.1

اجمع $x^{- 2}$ و $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = 7 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C_{2}) + \int 5 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

خطوة 2.3.4.2

انقُل $x^{- 2}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y + C_{1} = 7 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}) + \int 5 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

خطوة 2.3.5

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $5$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = 7 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}) + 5 \int x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

خطوة 2.3.6

تكامل $x^{- 1}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$y + C_{1} = 7 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}) + 5 (\ln (| x |) + C_{3}) + \int - 1 d x$

خطوة 2.3.7

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = 7 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}) + 5 (\ln (| x |) + C_{3}) - x + C_{4}$

خطوة 2.3.8

بسّط.

$y + C_{1} = - \frac{7}{2 x^{2}} + 5 \ln (| x |) - x + C_{5}$

خطوة 2.3.9

أعِد ترتيب الحدود.

$y + C_{1} = - x - \frac{7}{2 x^{2}} + 5 \ln (| x |) + C_{5}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$y = - x - \frac{7}{2 x^{2}} + 5 \ln (| x |) + C$

خطوة 3

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $C$ بالتعويض بـ $1$ عن $x$ وبـ $3$ عن $y$ في $y = - x - \frac{7}{2 x^{2}} + 5 \ln (| x |) + C$ .

$3 = - 1 - \frac{7}{2 \cdot 1^{2}} + 5 \ln (| 1 |) + C$

خطوة 4

أوجِد قيمة $C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $- 1 - \frac{7}{2 \cdot 1^{2}} + 5 \ln (| 1 |) + C = 3$ .

$- 1 - \frac{7}{2 \cdot 1^{2}} + 5 \ln (| 1 |) + C = 3$

خطوة 4.2

بسّط $- 1 - \frac{7}{2 \cdot 1^{2}} + 5 \ln (| 1 |) + C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$- 1 - \frac{7}{2 \cdot 1} + 5 \ln (| 1 |) + C = 3$

خطوة 4.2.1.2

اضرب $2$ في $1$ .

$- 1 - \frac{7}{2} + 5 \ln (| 1 |) + C = 3$

خطوة 4.2.1.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$- 1 - \frac{7}{2} + 5 \ln (1) + C = 3$

خطوة 4.2.1.4

اللوغاريتم الطبيعي لـ $1$ يساوي $0$ .

$- 1 - \frac{7}{2} + 5 \cdot 0 + C = 3$

خطوة 4.2.1.5

اضرب $5$ في $0$ .

$- 1 - \frac{7}{2} + 0 + C = 3$

خطوة 4.2.2

أضف $- 1 - \frac{7}{2}$ و $0$ .

$- 1 - \frac{7}{2} + C = 3$

خطوة 4.2.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$- 1 \cdot \frac{2}{2} - \frac{7}{2} + C = 3$

خطوة 4.2.4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{7}{2} + C = 3$

خطوة 4.2.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- 1 \cdot 2 - 7}{2} + C = 3$

خطوة 4.2.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{- 2 - 7}{2} + C = 3$

خطوة 4.2.6.2

اطرح $7$ من $- 2$ .

$\frac{- 9}{2} + C = 3$

خطوة 4.2.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{9}{2} + C = 3$

خطوة 4.3

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $C$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

أضف $\frac{9}{2}$ إلى كلا المتعادلين.

$C = 3 + \frac{9}{2}$

خطوة 4.3.2

لكتابة $3$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$C = 3 \cdot \frac{2}{2} + \frac{9}{2}$

خطوة 4.3.3

اجمع $3$ و $\frac{2}{2}$ .

$C = \frac{3 \cdot 2}{2} + \frac{9}{2}$

خطوة 4.3.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$C = \frac{3 \cdot 2 + 9}{2}$

خطوة 4.3.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.5.1

اضرب $3$ في $2$ .

$C = \frac{6 + 9}{2}$

خطوة 4.3.5.2

أضف $6$ و $9$ .

$C = \frac{15}{2}$

خطوة 5

عوّض بـ $\frac{15}{2}$ عن $C$ في $y = - x - \frac{7}{2 x^{2}} + 5 \ln (| x |) + C$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $C$ التي تساوي $\frac{15}{2}$ .

$y = - x - \frac{7}{2 x^{2}} + 5 \ln (| x |) + \frac{15}{2}$

خطوة 5.2

بسّط $5 \ln (| x |)$ بنقل $5$ داخل اللوغاريتم.

$y = - x - \frac{7}{2 x^{2}} + \ln ({| x |}^{5}) + \frac{15}{2}$