حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + \frac{d y}{d x} = 0$

خطوة 1

افترض أن $v = \frac{d y}{d x}$ . إذن $\frac{d v}{d x} = \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ . عوّض بـ $v$ عن $\frac{d y}{d x}$ وبـ $\frac{d v}{d x}$ عن $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ للحصول على معادلة تفاضلية ذات متغير تابع $v$ ومتغير مستقل $x$ .

$\frac{d v}{d x} + v = 0$

خطوة 2

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل.

$e^{\int d x}$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$e^{x + C_{1}}$

خطوة 2.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{x}$

خطوة 3

اضرب كل حد في عامل التكامل $e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كل حد في $e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = e^{x} \cdot 0$

خطوة 3.2

اضرب $e^{x}$ في $0$ .

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = 0$

خطوة 3.3

أعِد ترتيب العوامل في $e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = 0$ .

$e^{x} \frac{d v}{d x} + v e^{x} = 0$

خطوة 4

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [e^{x} v] = 0$

خطوة 5

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} v] d x = \int 0 d x$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$e^{x} v = \int 0 d x$

خطوة 7

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

تكامل $0$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$e^{x} v = 0 + C_{2}$

خطوة 7.2

أضف $0$ و $C_{2}$ .

$e^{x} v = C_{2}$

خطوة 8

اقسِم كل حد في $e^{x} v = C_{2}$ على $e^{x}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اقسِم كل حد في $e^{x} v = C_{2}$ على $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} v}{e^{x}} = \frac{C_{2}}{e^{x}}$

خطوة 8.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{x} v}{e^{x}} = \frac{C_{2}}{e^{x}}$

خطوة 8.2.1.2

اقسِم $v$ على $1$ .

$v = \frac{C_{2}}{e^{x}}$

خطوة 9

استبدِل كافة حالات حدوث $v$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{C_{2}}{e^{x}}$

خطوة 10

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = \frac{C_{2}}{e^{x}} d x$

خطوة 11

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int \frac{C_{2}}{e^{x}} d x$

خطوة 11.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{3} = \int \frac{C_{2}}{e^{x}} d x$

خطوة 11.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

بما أن $C_{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $C_{2}$ خارج التكامل.

$y + C_{3} = C_{2} \int \frac{1}{e^{x}} d x$

خطوة 11.3.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.2.1

اعكِس علامة أُس $e^{x}$ وأخرِجها من القاسم.

$y + C_{3} = C_{2} \int 1 {(e^{x})}^{- 1} d x$

خطوة 11.3.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.2.2.1

اضرب الأُسس في ${(e^{x})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.2.2.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{3} = C_{2} \int 1 e^{x \cdot - 1} d x$

خطوة 11.3.2.2.1.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $x$ .

$y + C_{3} = C_{2} \int 1 e^{- 1 \cdot x} d x$

خطوة 11.3.2.2.1.3

أعِد كتابة $- 1 x$ بالصيغة $- x$ .

$y + C_{3} = C_{2} \int 1 e^{- x} d x$

خطوة 11.3.2.2.2

اضرب $e^{- x}$ في $1$ .

$y + C_{3} = C_{2} \int e^{- x} d x$

خطوة 11.3.3

لنفترض أن $u = - x$ . إذن $d u = - d x$ ، لذا $- d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.3.1

افترض أن $u = - x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.3.1.1

أوجِد مشتقة $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 11.3.3.1.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 11.3.3.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

خطوة 11.3.3.1.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 1$

خطوة 11.3.3.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$y + C_{3} = C_{2} \int - e^{u} d u$

خطوة 11.3.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$y + C_{3} = C_{2} (- \int e^{u} d u)$

خطوة 11.3.5

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$y + C_{3} = C_{2} (- (e^{u} + C_{4}))$

خطوة 11.3.6

بسّط.

$y + C_{3} = C_{2} (- e^{u}) + C_{5}$

خطوة 11.3.7

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- x$ .

$y + C_{3} = C_{2} (- e^{- x}) + C_{5}$

خطوة 11.3.8

أعِد ترتيب الحدود.

$y + C_{3} = - e^{- x} C_{2} + C_{5}$

خطوة 11.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $D$ .

$y = - e^{- x} C + D$