حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x (y d) y - (x^{2} + 2) d x = 0$

خطوة 1

أضف $(x^{2} + 2) d x$ إلى كلا المتعادلين.

$x y d y = (x^{2} + 2) d x$

خطوة 2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} (x y) d y = \frac{1}{x} (x^{2} + 2) d x$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أخرِج العامل $x$ من $x y$ .

$\frac{1}{x} (x (y)) d y = \frac{1}{x} (x^{2} + 2) d x$

خطوة 3.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{x} (x y) d y = \frac{1}{x} (x^{2} + 2) d x$

خطوة 3.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$y d y = \frac{1}{x} (x^{2} + 2) d x$

خطوة 3.2

اضرب $\frac{1}{x}$ في $x^{2} + 2$ .

$y d y = \frac{x^{2} + 2}{x} d x$

خطوة 4

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int y d y = \int \frac{x^{2} + 2}{x} d x$

خطوة 4.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x^{2} + 2}{x} d x$

خطوة 4.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

قسّم الكسر إلى عدة كسور.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x^{2}}{x} + \frac{2}{x} d x$

خطوة 4.3.2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x^{2}}{x} d x + \int \frac{2}{x} d x$

خطوة 4.3.3

احذِف العامل المشترك لـ $x^{2}$ و $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x \cdot x}{x} d x + \int \frac{2}{x} d x$

خطوة 4.3.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x \cdot x}{x^{1}} d x + \int \frac{2}{x} d x$

خطوة 4.3.3.2.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int \frac{2}{x} d x$

خطوة 4.3.3.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int \frac{2}{x} d x$

خطوة 4.3.3.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x}{1} d x + \int \frac{2}{x} d x$

خطوة 4.3.3.2.5

اقسِم $x$ على $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int x d x + \int \frac{2}{x} d x$

خطوة 4.3.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int \frac{2}{x} d x$

خطوة 4.3.5

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + 2 \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 4.3.6

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + 2 (\ln (| x |) + C_{3})$

خطوة 4.3.7

بسّط.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + 2 \ln (| x |) + C_{4}$

خطوة 4.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{2} x^{2} + 2 \ln (| x |) + C$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اضرب كلا المتعادلين في $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + 2 \ln (| x |) + C)$

خطوة 5.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

بسّط $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + 2 \ln (| x |) + C)$

خطوة 5.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + 2 \ln (| x |) + C)$

خطوة 5.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + 2 \ln (| x |) + C)$

خطوة 5.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

بسّط $2 (\frac{1}{2} x^{2} + 2 \ln (| x |) + C)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + 2 \ln (| x |) + C)$

خطوة 5.2.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y^{2} = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 (2 \ln (| x |)) + 2 C$

خطوة 5.2.2.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$y^{2} = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 (2 \ln (| x |)) + 2 C$

خطوة 5.2.2.1.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} = x^{2} + 2 (2 \ln (| x |)) + 2 C$

خطوة 5.2.2.1.3.2

اضرب $2$ في $2$ .

$y^{2} = x^{2} + 4 \ln (| x |) + 2 C$

خطوة 5.3

بسّط $4 \ln (| x |)$ بنقل $4$ داخل اللوغاريتم.

$y^{2} = x^{2} + \ln ({| x |}^{4}) + 2 C$

خطوة 5.4

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \pm \sqrt{x^{2} + \ln ({| x |}^{4}) + 2 C}$

خطوة 5.5

احذِف القيمة المطلقة في ${| x |}^{4}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$y = \pm \sqrt{x^{2} + \ln (x^{4}) + 2 C}$

خطوة 5.6

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$y = \sqrt{x^{2} + \ln (x^{4}) + 2 C}$

خطوة 5.6.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$y = - \sqrt{x^{2} + \ln (x^{4}) + 2 C}$

خطوة 5.6.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$y = \sqrt{x^{2} + \ln (x^{4}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{x^{2} + \ln (x^{4}) + 2 C}$

$y = \sqrt{x^{2} + \ln (x^{4}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{x^{2} + \ln (x^{4}) + 2 C}$

$y = \sqrt{x^{2} + \ln (x^{4}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{x^{2} + \ln (x^{4}) + 2 C}$

خطوة 6

بسّط ثابت التكامل.

$y = \sqrt{x^{2} + \ln (x^{4}) + C}$

$y = - \sqrt{x^{2} + \ln (x^{4}) + C}$