حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x y = 2$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية في صورة $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اقسِم كل حد في $x^{2} \frac{d y}{d x} + x y = 2$ على $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{x y}{x^{2}} = \frac{2}{x^{2}}$

خطوة 1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{x y}{x^{2}} = \frac{2}{x^{2}}$

خطوة 1.2.2

اقسِم $\frac{d y}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{x y}{x^{2}} = \frac{2}{x^{2}}$

خطوة 1.3

احذِف العامل المشترك لـ $x$ و $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أخرِج العامل $x$ من $x y$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{x (y)}{x^{2}} = \frac{2}{x^{2}}$

خطوة 1.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{x (y)}{x \cdot x} = \frac{2}{x^{2}}$

خطوة 1.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d y}{d x} + \frac{x y}{x \cdot x} = \frac{2}{x^{2}}$

خطوة 1.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = \frac{2}{x^{2}}$

خطوة 1.4

أخرِج العامل $y$ من $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x} = \frac{2}{x^{2}}$

خطوة 1.5

أعِد ترتيب $y$ و $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = \frac{2}{x^{2}}$

خطوة 2

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = \frac{1}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل.

$e^{\int \frac{1}{x} d x}$

خطوة 2.2

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$e^{\ln (| x |) + C}$

خطوة 2.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{\ln (x)}$

خطوة 2.4

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$x$

خطوة 3

اضرب كل حد في عامل التكامل $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كل حد في $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + x (\frac{1}{x} y) = x \frac{2}{x^{2}}$

خطوة 3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اجمع $\frac{1}{x}$ و $y$ .

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x \frac{2}{x^{2}}$

خطوة 3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x \frac{2}{x^{2}}$

خطوة 3.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$x \frac{d y}{d x} + y = x \frac{2}{x^{2}}$

خطوة 3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$x \frac{d y}{d x} + y = x \frac{2}{x \cdot x}$

خطوة 3.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$x \frac{d y}{d x} + y = x \frac{2}{x \cdot x}$

خطوة 3.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$x \frac{d y}{d x} + y = \frac{2}{x}$

خطوة 4

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [x y] = \frac{2}{x}$

خطوة 5

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int \frac{2}{x} d x$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$x y = \int \frac{2}{x} d x$

خطوة 7

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$x y = 2 \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 7.2

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$x y = 2 (\ln (| x |) + C)$

خطوة 7.3

بسّط.

$x y = 2 \ln (| x |) + C$

خطوة 8

اقسِم كل حد في $x y = 2 \ln (| x |) + C$ على $x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اقسِم كل حد في $x y = 2 \ln (| x |) + C$ على $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{2 \ln (| x |)}{x} + \frac{C}{x}$

خطوة 8.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x y}{x} = \frac{2 \ln (| x |)}{x} + \frac{C}{x}$

خطوة 8.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{2 \ln (| x |)}{x} + \frac{C}{x}$

خطوة 8.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1

بسّط $2 \ln (| x |)$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$y = \frac{\ln ({| x |}^{2})}{x} + \frac{C}{x}$

خطوة 8.3.1.2

احذِف القيمة المطلقة في ${| x |}^{2}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$y = \frac{\ln (x^{2})}{x} + \frac{C}{x}$