حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = - \frac{1}{x^{3}}$

خطوة 1

أوجِد تكامل كلا الطرفين بالنسبة إلى $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

المشتق الأول يساوي تكامل المشتق الثاني بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \int - \frac{1}{x^{3}} d x$

خطوة 1.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{d y}{d x} = - \int \frac{1}{x^{3}} d x$

خطوة 1.3

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

انقُل $x^{3}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\frac{d y}{d x} = - \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

خطوة 1.3.2

اضرب الأُسس في ${(x^{3})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \int x^{3 \cdot - 1} d x$

خطوة 1.3.2.2

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\frac{d y}{d x} = - \int x^{- 3} d x$

خطوة 1.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- 3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$\frac{d y}{d x} = - (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C_{1})$

خطوة 1.5

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1

اجمع $x^{- 2}$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = - (- \frac{x^{- 2}}{2} + C_{1})$

خطوة 1.5.1.2

انقُل $x^{- 2}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{d y}{d x} = - (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{1})$

خطوة 1.5.2

بسّط.

$\frac{d y}{d x} = - - \frac{1}{2 x^{2}} + C_{1}$

خطوة 1.5.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{d y}{d x} = 1 \frac{1}{2 x^{2}} + C_{1}$

خطوة 1.5.3.2

اضرب $\frac{1}{2 x^{2}}$ في $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 x^{2}} + C_{1}$

خطوة 2

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = (\frac{1}{2 x^{2}} + C_{1}) d x$

خطوة 3

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int \frac{1}{2 x^{2}} + C_{1} d x$

خطوة 3.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{2} = \int \frac{1}{2 x^{2}} + C_{1} d x$

خطوة 3.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$y + C_{2} = \int \frac{1}{2 x^{2}} d x + \int C_{1} d x$

خطوة 3.3.2

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$y + C_{2} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{2}} d x + \int C_{1} d x$

خطوة 3.3.3

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

انقُل $x^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$y + C_{2} = \frac{1}{2} \int {(x^{2})}^{- 1} d x + \int C_{1} d x$

خطوة 3.3.3.2

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{2} = \frac{1}{2} \int x^{2 \cdot - 1} d x + \int C_{1} d x$

خطوة 3.3.3.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$y + C_{2} = \frac{1}{2} \int x^{- 2} d x + \int C_{1} d x$

خطوة 3.3.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- 2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $- x^{- 1}$ .

$y + C_{2} = \frac{1}{2} (- x^{- 1} + C_{3}) + \int C_{1} d x$

خطوة 3.3.5

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{2} = \frac{1}{2} (- x^{- 1} + C_{3}) + C_{1} x + C_{4}$

خطوة 3.3.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.6.1

بسّط.

$y + C_{2} = \frac{1}{2} (- \frac{1}{x}) + C_{1} x + C_{5}$

خطوة 3.3.6.2

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{x}$ .

$y + C_{2} = - \frac{1}{2 x} + C_{1} x + C_{5}$

خطوة 3.3.7

أعِد ترتيب الحدود.

$y + C_{2} = C_{1} x - \frac{1}{2 x} + C_{5}$

خطوة 3.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $D$ .

$y = C x - \frac{1}{2 x} + D$