حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d N}{d t} = 2 (1 - \cos (\frac{2 π t}{24})) N$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{N}$ .

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = \frac{1}{N} (2 (1 - \cos (\frac{2 π t}{24})) N)$

خطوة 1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = 2 \frac{1}{N} ((1 - \cos (\frac{2 π t}{24})) N)$

خطوة 1.2.2

اجمع $2$ و $\frac{1}{N}$ .

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = \frac{2}{N} ((1 - \cos (\frac{2 π t}{24})) N)$

خطوة 1.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $N$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

أخرِج العامل $N$ من $(1 - \cos (\frac{2 π t}{24})) N$ .

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = \frac{2}{N} (N (1 - \cos (\frac{2 π t}{24})))$

خطوة 1.2.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = \frac{2}{N} (N (1 - \cos (\frac{2 π t}{24})))$

خطوة 1.2.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = 2 (1 - \cos (\frac{2 π t}{24}))$

خطوة 1.2.4

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و $24$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

أخرِج العامل $2$ من $2 π t$ .

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = 2 (1 - \cos (\frac{2 (π t)}{24}))$

خطوة 1.2.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $24$ .

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = 2 (1 - \cos (\frac{2 (π t)}{2 \cdot 12}))$

خطوة 1.2.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = 2 (1 - \cos (\frac{2 (π t)}{2 \cdot 12}))$

خطوة 1.2.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = 2 (1 - \cos (\frac{π t}{12}))$

خطوة 1.2.5

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = 2 \cdot 1 + 2 (- \cos (\frac{π t}{12}))$

خطوة 1.2.6

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = 2 + 2 (- \cos (\frac{π t}{12}))$

خطوة 1.2.7

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = 2 - 2 \cos (\frac{π t}{12})$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{N} d N = (2 - 2 \cos (\frac{π t}{12})) d t$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{N} d N = \int 2 - 2 \cos (\frac{π t}{12}) d t$

خطوة 2.2

تكامل $\frac{1}{N}$ بالنسبة إلى $N$ هو $\ln (| N |)$ .

$\ln (| N |) + C_{1} = \int 2 - 2 \cos (\frac{π t}{12}) d t$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\ln (| N |) + C_{1} = \int 2 d t + \int - 2 \cos (\frac{π t}{12}) d t$

خطوة 2.3.2

طبّق قاعدة الثابت.

$\ln (| N |) + C_{1} = 2 t + C_{2} + \int - 2 \cos (\frac{π t}{12}) d t$

خطوة 2.3.3

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $- 2$ خارج التكامل.

$\ln (| N |) + C_{1} = 2 t + C_{2} - 2 \int \cos (\frac{π t}{12}) d t$

خطوة 2.3.4

لنفترض أن $u = \frac{π t}{12}$ . إذن $d u = \frac{π}{12} d t$ ، لذا $\frac{12}{π} d u = d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.1

افترض أن $u = \frac{π t}{12}$ . أوجِد $\frac{d u}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.1.1

أوجِد مشتقة $\frac{π t}{12}$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{π t}{12}]$

خطوة 2.3.4.1.2

بما أن $\frac{π}{12}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $\frac{π t}{12}$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $\frac{π}{12} \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{π}{12} \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 2.3.4.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{π}{12} \cdot 1$

خطوة 2.3.4.1.4

اضرب $\frac{π}{12}$ في $1$ .

$\frac{π}{12}$

خطوة 2.3.4.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\ln (| N |) + C_{1} = 2 t + C_{2} - 2 \int \cos (u) \frac{1}{\frac{π}{12}} d u$

خطوة 2.3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{π}{12}$ .

$\ln (| N |) + C_{1} = 2 t + C_{2} - 2 \int \cos (u) (1 \frac{12}{π}) d u$

خطوة 2.3.5.2

اضرب $\frac{12}{π}$ في $1$ .

$\ln (| N |) + C_{1} = 2 t + C_{2} - 2 \int \cos (u) \frac{12}{π} d u$

خطوة 2.3.5.3

اجمع $\cos (u)$ و $\frac{12}{π}$ .

$\ln (| N |) + C_{1} = 2 t + C_{2} - 2 \int \frac{\cos (u) \cdot 12}{π} d u$

خطوة 2.3.5.4

انقُل $12$ إلى يسار $\cos (u)$ .

$\ln (| N |) + C_{1} = 2 t + C_{2} - 2 \int \frac{12 \cos (u)}{π} d u$

خطوة 2.3.6

بما أن $\frac{12}{π}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{12}{π}$ خارج التكامل.

$\ln (| N |) + C_{1} = 2 t + C_{2} - 2 (\frac{12}{π} \int \cos (u) d u)$

خطوة 2.3.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.1

اجمع $\frac{12}{π}$ و $- 2$ .

$\ln (| N |) + C_{1} = 2 t + C_{2} + \frac{12 \cdot - 2}{π} \int \cos (u) d u$

خطوة 2.3.7.2

اضرب $12$ في $- 2$ .

$\ln (| N |) + C_{1} = 2 t + C_{2} + \frac{- 24}{π} \int \cos (u) d u$

خطوة 2.3.7.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\ln (| N |) + C_{1} = 2 t + C_{2} - \frac{24}{π} \int \cos (u) d u$

خطوة 2.3.8

تكامل $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ هو $\sin (u)$ .

$\ln (| N |) + C_{1} = 2 t + C_{2} - \frac{24}{π} (\sin (u) + C_{3})$

خطوة 2.3.9

بسّط.

$\ln (| N |) + C_{1} = 2 t - \frac{24}{π} \sin (u) + C_{4}$

خطوة 2.3.10

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{π t}{12}$ .

$\ln (| N |) + C_{1} = 2 t - \frac{24}{π} \sin (\frac{π t}{12}) + C_{4}$

خطوة 2.3.11

أعِد ترتيب الحدود.

$\ln (| N |) + C_{1} = 2 t - \frac{24}{π} \sin (\frac{π}{12} t) + C_{4}$

خطوة 2.3.12

أعِد ترتيب الحدود.

$\ln (| N |) + C_{1} = - \frac{24}{π} \sin (\frac{π}{12} t) + 2 t + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\ln (| N |) = - \frac{24}{π} \sin (\frac{π}{12} t) + 2 t + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $N$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لإيجاد قيمة $N$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (| N |)} = e^{- \frac{24}{π} \sin (\frac{π}{12} t) + 2 t + C}$

خطوة 3.2

أعِد كتابة $\ln (| N |) = - \frac{24}{π} \sin (\frac{π}{12} t) + 2 t + C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{24}{π} \sin (\frac{π}{12} t) + 2 t + C} = | N |$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $N$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $| N | = e^{- \frac{24}{π} \cdot \sin (\frac{π}{12} t) + 2 t + C}$ .

$| N | = e^{- \frac{24}{π} \cdot \sin (\frac{π}{12} t) + 2 t + C}$

خطوة 3.3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

اجمع $\sin (\frac{π}{12} t)$ و $\frac{24}{π}$ .

$| N | = e^{- \frac{\sin (\frac{π}{12} t) \cdot 24}{π} + 2 t + C}$

خطوة 3.3.2.2

انقُل $24$ إلى يسار $\sin (\frac{π}{12} t)$ .

$| N | = e^{- \frac{24 \sin (\frac{π}{12} t)}{π} + 2 t + C}$

خطوة 3.3.3

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$N = \pm e^{- \frac{24 \sin (\frac{π}{12} t)}{π} + 2 t + C}$

خطوة 4

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة $e^{- \frac{24 \sin (\frac{π}{12} t)}{π} + 2 t + C}$ بالصيغة $e^{- \frac{24 \sin (\frac{π}{12} t)}{π} + 2 t} e^{C}$ .

$N = \pm e^{- \frac{24 \sin (\frac{π}{12} t)}{π} + 2 t} e^{C}$

خطوة 4.2

أعِد ترتيب $e^{- \frac{24 \sin (\frac{π}{12} t)}{π} + 2 t}$ و $e^{C}$ .

$N = \pm e^{C} e^{- \frac{24 \sin (\frac{π}{12} t)}{π} + 2 t}$

خطوة 4.3

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$N = C e^{- \frac{24 \sin (\frac{π}{12} t)}{π} + 2 t}$