حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$5 y \frac{d y}{d x} = 9 x^{2}$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$5 y d y = 9 x^{2} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int 5 y d y = \int 9 x^{2} d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $5$ خارج التكامل.

$5 \int y d y = \int 9 x^{2} d x$

خطوة 2.2.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$5 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int 9 x^{2} d x$

خطوة 2.2.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

أعِد كتابة $5 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ بالصيغة $5 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ .

$5 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int 9 x^{2} d x$

خطوة 2.2.3.2

اجمع $5$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{5}{2} y^{2} + C_{1} = \int 9 x^{2} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $9$ خارج التكامل.

$\frac{5}{2} y^{2} + C_{1} = 9 \int x^{2} d x$

خطوة 2.3.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{5}{2} y^{2} + C_{1} = 9 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

خطوة 2.3.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

أعِد كتابة $9 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ بالصيغة $9 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$ .

$\frac{5}{2} y^{2} + C_{1} = 9 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$

خطوة 2.3.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.1

اجمع $9$ و $\frac{1}{3}$ .

$\frac{5}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{9}{3} x^{3} + C_{2}$

خطوة 2.3.3.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $9$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.2.1

أخرِج العامل $3$ من $9$ .

$\frac{5}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot 3}{3} x^{3} + C_{2}$

خطوة 2.3.3.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.2.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$\frac{5}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot 3}{3 (1)} x^{3} + C_{2}$

خطوة 2.3.3.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{5}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1} x^{3} + C_{2}$

خطوة 2.3.3.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{5}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{1} x^{3} + C_{2}$

خطوة 2.3.3.2.2.2.4

اقسِم $3$ على $1$ .

$\frac{5}{2} y^{2} + C_{1} = 3 x^{3} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$\frac{5}{2} y^{2} = 3 x^{3} + K$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كلا المتعادلين في $\frac{2}{5}$ .

$\frac{2}{5} (\frac{5}{2} y^{2}) = \frac{2}{5} (3 x^{3} + K)$

خطوة 3.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

بسّط $\frac{2}{5} (\frac{5}{2} y^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

اجمع $\frac{5}{2}$ و $y^{2}$ .

$\frac{2}{5} \cdot \frac{5 y^{2}}{2} = \frac{2}{5} (3 x^{3} + K)$

خطوة 3.2.1.1.2

اجمع.

$\frac{2 (5 y^{2})}{5 \cdot 2} = \frac{2}{5} (3 x^{3} + K)$

خطوة 3.2.1.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (5 y^{2})}{5 \cdot 2} = \frac{2}{5} (3 x^{3} + K)$

خطوة 3.2.1.1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{5 y^{2}}{5} = \frac{2}{5} (3 x^{3} + K)$

خطوة 3.2.1.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{5 y^{2}}{5} = \frac{2}{5} (3 x^{3} + K)$

خطوة 3.2.1.1.4.2

اقسِم $y^{2}$ على $1$ .

$y^{2} = \frac{2}{5} (3 x^{3} + K)$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

بسّط $\frac{2}{5} (3 x^{3} + K)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y^{2} = \frac{2}{5} (3 x^{3}) + \frac{2}{5} K$

خطوة 3.2.2.1.2

اضرب $\frac{2}{5} (3 x^{3})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.2.1

اجمع $3$ و $\frac{2}{5}$ .

$y^{2} = \frac{3 \cdot 2}{5} x^{3} + \frac{2}{5} K$

خطوة 3.2.2.1.2.2

اضرب $3$ في $2$ .

$y^{2} = \frac{6}{5} x^{3} + \frac{2}{5} K$

خطوة 3.2.2.1.2.3

اجمع $\frac{6}{5}$ و $x^{3}$ .

$y^{2} = \frac{6 x^{3}}{5} + \frac{2}{5} K$

خطوة 3.2.2.1.3

اجمع $\frac{2}{5}$ و $K$ .

$y^{2} = \frac{6 x^{3}}{5} + \frac{2 K}{5}$

خطوة 3.3

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \pm \sqrt{\frac{6 x^{3}}{5} + \frac{2 K}{5}}$

خطوة 3.4

بسّط $\pm \sqrt{\frac{6 x^{3}}{5} + \frac{2 K}{5}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \pm \sqrt{\frac{6 x^{3} + 2 K}{5}}$

خطوة 3.4.2

أخرِج العامل $2$ من $6 x^{3} + 2 K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $6 x^{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (3 x^{3}) + 2 K}{5}}$

خطوة 3.4.2.2

أخرِج العامل $2$ من $2 K$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (3 x^{3}) + 2 K}{5}}$

خطوة 3.4.2.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (3 x^{3}) + 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (3 x^{3} + K)}{5}}$

خطوة 3.4.3

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{2 (3 x^{3} + K)}{5}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{2 (3 x^{3} + K)}}{\sqrt{5}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (3 x^{3} + K)}}{\sqrt{5}}$

خطوة 3.4.4

اضرب $\frac{\sqrt{2 (3 x^{3} + K)}}{\sqrt{5}}$ في $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (3 x^{3} + K)}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

خطوة 3.4.5

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.5.1

اضرب $\frac{\sqrt{2 (3 x^{3} + K)}}{\sqrt{5}}$ في $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (3 x^{3} + K)} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

خطوة 3.4.5.2

ارفع $\sqrt{5}$ إلى القوة $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (3 x^{3} + K)} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

خطوة 3.4.5.3

ارفع $\sqrt{5}$ إلى القوة $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (3 x^{3} + K)} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

خطوة 3.4.5.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (3 x^{3} + K)} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

خطوة 3.4.5.5

أضف $1$ و $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (3 x^{3} + K)} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

خطوة 3.4.5.6

أعِد كتابة ${\sqrt{5}}^{2}$ بالصيغة $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.5.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{5}$ في صورة $5^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (3 x^{3} + K)} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 3.4.5.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (3 x^{3} + K)} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 3.4.5.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (3 x^{3} + K)} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 3.4.5.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.5.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (3 x^{3} + K)} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 3.4.5.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (3 x^{3} + K)} \sqrt{5}}{5^{1}}$

خطوة 3.4.5.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (3 x^{3} + K)} \sqrt{5}}{5}$

خطوة 3.4.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.6.1

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (3 x^{3} + K) \cdot 5}}{5}$

خطوة 3.4.6.2

اضرب $5$ في $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{10 (3 x^{3} + K)}}{5}$

خطوة 3.5

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$y = \frac{\sqrt{10 (3 x^{3} + K)}}{5}$

خطوة 3.5.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$y = - \frac{\sqrt{10 (3 x^{3} + K)}}{5}$

خطوة 3.5.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$y = \frac{\sqrt{10 (3 x^{3} + K)}}{5}$

$y = - \frac{\sqrt{10 (3 x^{3} + K)}}{5}$

$y = \frac{\sqrt{10 (3 x^{3} + K)}}{5}$

$y = - \frac{\sqrt{10 (3 x^{3} + K)}}{5}$

$y = \frac{\sqrt{10 (3 x^{3} + K)}}{5}$

$y = - \frac{\sqrt{10 (3 x^{3} + K)}}{5}$