حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d t} = \frac{t e^{t}}{y \sqrt{5 + y^{2}}}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $y \sqrt{5 + y^{2}}$ .

$y \sqrt{5 + y^{2}} \frac{d y}{d t} = y \sqrt{5 + y^{2}} \frac{t e^{t}}{y \sqrt{5 + y^{2}}}$

خطوة 1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y \sqrt{5 + y^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y \sqrt{5 + y^{2}} \frac{d y}{d t} = y \sqrt{5 + y^{2}} \frac{t e^{t}}{y \sqrt{5 + y^{2}}}$

خطوة 1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y \sqrt{5 + y^{2}} \frac{d y}{d t} = t e^{t}$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$y \sqrt{5 + y^{2}} d y = t e^{t} d t$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int y \sqrt{5 + y^{2}} d y = \int t e^{t} d t$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لنفترض أن $u = 5 + y^{2}$ . إذن $d u = 2 y d y$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = y d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

افترض أن $u = 5 + y^{2}$ . أوجِد $\frac{d u}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.1

أوجِد مشتقة $5 + y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [5 + y^{2}]$

خطوة 2.2.1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $5 + y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [5] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [5] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

خطوة 2.2.1.1.3

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $5$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

خطوة 2.2.1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$0 + 2 y$

خطوة 2.2.1.1.5

أضف $0$ و $2 y$ .

$2 y$

خطوة 2.2.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \sqrt{u} \frac{1}{2} d u = \int t e^{t} d t$

خطوة 2.2.2

اجمع $\sqrt{u}$ و $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\sqrt{u}}{2} d u = \int t e^{t} d t$

خطوة 2.2.3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{u} d u = \int t e^{t} d t$

خطوة 2.2.4

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u = \int t e^{t} d t$

خطوة 2.2.5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{1}) = \int t e^{t} d t$

خطوة 2.2.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.6.1

أعِد كتابة $\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{1})$ بالصيغة $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{1}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \int t e^{t} d t$

خطوة 2.2.6.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.6.2.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \int t e^{t} d t$

خطوة 2.2.6.2.2

اضرب $2$ في $3$ .

$\frac{2}{6} u^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \int t e^{t} d t$

خطوة 2.2.6.2.3

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.6.2.3.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 (1)}{6} u^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \int t e^{t} d t$

خطوة 2.2.6.2.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.6.2.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \int t e^{t} d t$

خطوة 2.2.6.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \int t e^{t} d t$

خطوة 2.2.6.2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \int t e^{t} d t$

خطوة 2.2.7

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $5 + y^{2}$ .

$\frac{1}{3} {(5 + y^{2})}^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \int t e^{t} d t$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = t$ و $d v = e^{t}$ .

$\frac{1}{3} {(5 + y^{2})}^{\frac{3}{2}} + C_{1} = t e^{t} - \int e^{t} d t$

خطوة 2.3.2

تكامل $e^{t}$ بالنسبة إلى $t$ هو $e^{t}$ .

$\frac{1}{3} {(5 + y^{2})}^{\frac{3}{2}} + C_{1} = t e^{t} - (e^{t} + C_{2})$

خطوة 2.3.3

بسّط.

$\frac{1}{3} {(5 + y^{2})}^{\frac{3}{2}} + C_{1} = t e^{t} - e^{t} + C_{2}$

خطوة 2.3.4

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{3} {(5 + y^{2})}^{\frac{3}{2}} + C_{1} = e^{t} t - e^{t} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$\frac{1}{3} {(5 + y^{2})}^{\frac{3}{2}} = e^{t} t - e^{t} + K$