حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d x}{d y} = \frac{x^{2} + 1}{2 - 2 y}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{x^{2} + 1} \cdot \frac{x^{2} + 1}{2 - 2 y}$

خطوة 1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{x^{2} + 1} \cdot \frac{x^{2} + 1}{2 - 2 y}$

خطوة 1.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{2 - 2 y}$

خطوة 1.2.2

أخرِج العامل $2$ من $2 - 2 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{2 (1) - 2 y}$

خطوة 1.2.2.2

أخرِج العامل $2$ من $- 2 y$ .

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{2 (1) + 2 (- y)}$

خطوة 1.2.2.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (1) + 2 (- y)$ .

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{2 (1 - y)}$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{x^{2} + 1} d x = \frac{1}{2 (1 - y)} d y$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{x^{2} + 1} d x = \int \frac{1}{2 (1 - y)} d y$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

أعِد ترتيب $x^{2}$ و $1$ .

$\int \frac{1}{1 + x^{2}} d x = \int \frac{1}{2 (1 - y)} d y$

خطوة 2.2.1.2

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x = \int \frac{1}{2 (1 - y)} d y$

خطوة 2.2.2

تكامل $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\arctan (x) + C_{1}$ .

$\arctan (x) + C_{1} = \int \frac{1}{2 (1 - y)} d y$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\arctan (x) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{1 - y} d y$

خطوة 2.3.2

لنفترض أن $u = 1 - y$ . إذن $d u = - d y$ ، لذا $- d u = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

افترض أن $u = 1 - y$ . أوجِد $\frac{d u}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

أعِد الكتابة.

$\frac{- 1}{1}$

خطوة 2.3.2.1.2

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$- 1$

خطوة 2.3.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\arctan (x) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{- 1}{u} d u$

خطوة 2.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\arctan (x) + C_{1} = \frac{1}{2} \int - \frac{1}{u} d u$

خطوة 2.3.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\arctan (x) + C_{1} = \frac{1}{2} (- \int \frac{1}{u} d u)$

خطوة 2.3.5

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\arctan (x) + C_{1} = \frac{1}{2} (- (\ln (| u |) + C_{2}))$

خطوة 2.3.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.1

بسّط.

$\arctan (x) + C_{1} = \frac{1}{2} (- \ln (| u |)) + C_{2}$

خطوة 2.3.6.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\ln (| u |)$ .

$\arctan (x) + C_{1} = - \frac{\ln (| u |)}{2} + C_{2}$

خطوة 2.3.7

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $1 - y$ .

$\arctan (x) + C_{1} = - \frac{\ln (| 1 - y |)}{2} + C_{2}$

خطوة 2.3.8

أعِد ترتيب الحدود.

$\arctan (x) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| 1 - y |) + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\arctan (x) = - \frac{1}{2} \ln (| 1 - y |) + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

خُذ دالة قوس الظل العكسية لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل قوس الظل.

$x = \tan (- \frac{1}{2} \cdot \ln (| 1 - y |) + C)$

خطوة 3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اضرب $- \frac{1}{2} \ln (| 1 - y |)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

أعِد ترتيب $\ln (| 1 - y |)$ و $\frac{1}{2}$ .

$x = \tan (- (\frac{1}{2} \ln (| 1 - y |)) + C)$

خطوة 3.2.1.2

بسّط $\frac{1}{2} \ln (| 1 - y |)$ بنقل $\frac{1}{2}$ داخل اللوغاريتم.

$x = \tan (- \ln ({| 1 - y |}^{\frac{1}{2}}) + C)$