حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = 8 x \sqrt{16 - y^{2}}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} (8 x \sqrt{16 - y^{2}})$

خطوة 1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} (x \sqrt{16 - y^{2}})$

خطوة 1.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $4^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{1}{\sqrt{4^{2} - y^{2}}} (x \sqrt{16 - y^{2}})$

خطوة 1.2.2.2

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = 4$ و $b = y$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{1}{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}} (x \sqrt{16 - y^{2}})$

خطوة 1.2.3

اضرب $\frac{1}{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}$ في $\frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 8 (\frac{1}{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}} \cdot \frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}) (x \sqrt{16 - y^{2}})$

خطوة 1.2.4

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

اضرب $\frac{1}{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}$ في $\frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{\sqrt{(4 + y) (4 - y)} \sqrt{(4 + y) (4 - y)}} (x \sqrt{16 - y^{2}})$

خطوة 1.2.4.2

ارفع $\sqrt{(4 + y) (4 - y)}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}^{1} \sqrt{(4 + y) (4 - y)}} (x \sqrt{16 - y^{2}})$

خطوة 1.2.4.3

ارفع $\sqrt{(4 + y) (4 - y)}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}^{1} {\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}^{1}} (x \sqrt{16 - y^{2}})$

خطوة 1.2.4.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}^{1 + 1}} (x \sqrt{16 - y^{2}})$

خطوة 1.2.4.5

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}^{2}} (x \sqrt{16 - y^{2}})$

خطوة 1.2.4.6

أعِد كتابة ${\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}^{2}$ بالصيغة $(4 + y) (4 - y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{(4 + y) (4 - y)}$ في صورة ${((4 + y) (4 - y))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{{({((4 + y) (4 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (x \sqrt{16 - y^{2}})$

خطوة 1.2.4.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{{((4 + y) (4 - y))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} (x \sqrt{16 - y^{2}})$

خطوة 1.2.4.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{{((4 + y) (4 - y))}^{\frac{2}{2}}} (x \sqrt{16 - y^{2}})$

خطوة 1.2.4.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{{((4 + y) (4 - y))}^{\frac{2}{2}}} (x \sqrt{16 - y^{2}})$

خطوة 1.2.4.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{{((4 + y) (4 - y))}^{1}} (x \sqrt{16 - y^{2}})$

خطوة 1.2.4.6.5

بسّط.

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{(4 + y) (4 - y)} (x \sqrt{16 - y^{2}})$

خطوة 1.2.5

اجمع $8$ و $\frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{(4 + y) (4 - y)}$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{8 \sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{(4 + y) (4 - y)} (x \sqrt{16 - y^{2}})$

خطوة 1.2.6

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $4^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{8 \sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{(4 + y) (4 - y)} (x \sqrt{4^{2} - y^{2}})$

خطوة 1.2.7

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{8 \sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{(4 + y) (4 - y)} (x \sqrt{(4 + y) (4 - y)})$

خطوة 1.2.8

اضرب $\frac{8 \sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{(4 + y) (4 - y)} (x \sqrt{(4 + y) (4 - y)})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.8.1

اجمع $x$ و $\frac{8 \sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{(4 + y) (4 - y)}$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (8 \sqrt{(4 + y) (4 - y)})}{(4 + y) (4 - y)} \sqrt{(4 + y) (4 - y)}$

خطوة 1.2.8.2

اجمع $\frac{x (8 \sqrt{(4 + y) (4 - y)})}{(4 + y) (4 - y)}$ و $\sqrt{(4 + y) (4 - y)}$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (8 \sqrt{(4 + y) (4 - y)}) \sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{(4 + y) (4 - y)}$

خطوة 1.2.8.3

ارفع $\sqrt{(4 + y) (4 - y)}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (8 ({\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}^{1} \sqrt{(4 + y) (4 - y)}))}{(4 + y) (4 - y)}$

خطوة 1.2.8.4

ارفع $\sqrt{(4 + y) (4 - y)}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (8 ({\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}^{1} {\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}^{1}))}{(4 + y) (4 - y)}$

خطوة 1.2.8.5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (8 {\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}^{1 + 1})}{(4 + y) (4 - y)}$

خطوة 1.2.8.6

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (8 {\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}^{2})}{(4 + y) (4 - y)}$

خطوة 1.2.9

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.9.1

أعِد كتابة ${\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}^{2}$ بالصيغة $(4 + y) (4 - y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.9.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{(4 + y) (4 - y)}$ في صورة ${((4 + y) (4 - y))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 {({((4 + y) (4 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{(4 + y) (4 - y)}$

خطوة 1.2.9.1.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 {((4 + y) (4 - y))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{(4 + y) (4 - y)}$

خطوة 1.2.9.1.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 {((4 + y) (4 - y))}^{\frac{2}{2}}}{(4 + y) (4 - y)}$

خطوة 1.2.9.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.9.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 {((4 + y) (4 - y))}^{\frac{2}{2}}}{(4 + y) (4 - y)}$

خطوة 1.2.9.1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 {((4 + y) (4 - y))}^{1}}{(4 + y) (4 - y)}$

خطوة 1.2.9.1.5

بسّط.

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 ((4 + y) (4 - y))}{(4 + y) (4 - y)}$

خطوة 1.2.9.2

وسّع $(4 + y) (4 - y)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.9.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 (4 (4 - y) + y (4 - y))}{(4 + y) (4 - y)}$

خطوة 1.2.9.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 (4 \cdot 4 + 4 (- y) + y (4 - y))}{(4 + y) (4 - y)}$

خطوة 1.2.9.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 (4 \cdot 4 + 4 (- y) + y \cdot 4 + y (- y))}{(4 + y) (4 - y)}$

خطوة 1.2.9.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.9.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.9.3.1.1

اضرب $4$ في $4$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 (16 + 4 (- y) + y \cdot 4 + y (- y))}{(4 + y) (4 - y)}$

خطوة 1.2.9.3.1.2

اضرب $- 1$ في $4$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 (16 - 4 y + y \cdot 4 + y (- y))}{(4 + y) (4 - y)}$

خطوة 1.2.9.3.1.3

انقُل $4$ إلى يسار $y$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 (16 - 4 y + 4 \cdot y + y (- y))}{(4 + y) (4 - y)}$

خطوة 1.2.9.3.1.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 (16 - 4 y + 4 y - y \cdot y)}{(4 + y) (4 - y)}$

خطوة 1.2.9.3.1.5

اضرب $y$ في $y$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.9.3.1.5.1

انقُل $y$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 (16 - 4 y + 4 y - (y \cdot y))}{(4 + y) (4 - y)}$

خطوة 1.2.9.3.1.5.2

اضرب $y$ في $y$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 (16 - 4 y + 4 y - y^{2})}{(4 + y) (4 - y)}$

خطوة 1.2.9.3.2

أضف $- 4 y$ و $4 y$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 (16 + 0 - y^{2})}{(4 + y) (4 - y)}$

خطوة 1.2.9.3.3

أضف $16$ و $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 (16 - y^{2})}{(4 + y) (4 - y)}$

خطوة 1.2.9.4

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $4^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 (4^{2} - y^{2})}{(4 + y) (4 - y)}$

خطوة 1.2.9.5

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 (4 + y) (4 - y)}{(4 + y) (4 - y)}$

خطوة 1.2.10

ألغِ العامل المشترك لـ $4 + y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.10.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 (4 + y) (4 - y)}{(4 + y) (4 - y)}$

خطوة 1.2.10.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 (4 - y)}{4 - y}$

خطوة 1.2.11

ألغِ العامل المشترك لـ $4 - y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.11.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 (4 - y)}{4 - y}$

خطوة 1.2.11.2

اقسِم $x \cdot 8$ على $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = x \cdot 8$

خطوة 1.2.12

انقُل $8$ إلى يسار $x$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 8 x$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} d y = 8 x d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} d y = \int 8 x d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $4^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{4^{2} - y^{2}}} d y = \int 8 x d x$

خطوة 2.2.2

تكامل $\frac{1}{\sqrt{4^{2} - y^{2}}}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\arcsin (\frac{y}{4})$

$\arcsin (\frac{y}{4}) + C_{1} = \int 8 x d x$

خطوة 2.2.3

أعِد كتابة $\arcsin (\frac{y}{4}) + C_{1}$ بالصيغة $\arcsin (\frac{1}{4} y) + C_{1}$ .

$\arcsin (\frac{1}{4} y) + C_{1} = \int 8 x d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $8$ خارج التكامل.

$\arcsin (\frac{1}{4} y) + C_{1} = 8 \int x d x$

خطوة 2.3.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\arcsin (\frac{1}{4} y) + C_{1} = 8 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

خطوة 2.3.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

أعِد كتابة $8 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ بالصيغة $8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

$\arcsin (\frac{1}{4} y) + C_{1} = 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

خطوة 2.3.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.1

اجمع $8$ و $\frac{1}{2}$ .

$\arcsin (\frac{1}{4} y) + C_{1} = \frac{8}{2} x^{2} + C_{2}$

خطوة 2.3.3.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $8$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $8$ .

$\arcsin (\frac{1}{4} y) + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2} x^{2} + C_{2}$

خطوة 2.3.3.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\arcsin (\frac{1}{4} y) + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 (1)} x^{2} + C_{2}$

خطوة 2.3.3.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\arcsin (\frac{1}{4} y) + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{2}$

خطوة 2.3.3.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\arcsin (\frac{1}{4} y) + C_{1} = \frac{4}{1} x^{2} + C_{2}$

خطوة 2.3.3.2.2.2.4

اقسِم $4$ على $1$ .

$\arcsin (\frac{1}{4} y) + C_{1} = 4 x^{2} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$\arcsin (\frac{1}{4} y) = 4 x^{2} + K$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

خُذ دالة قوس الجيب العكسية لكلا المتعادلين لاستخراج $y$ من داخل قوس الجيب.

$\frac{1}{4} y = \sin (4 x^{2} + K)$

خطوة 3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اجمع $\frac{1}{4}$ و $y$ .

$\frac{y}{4} = \sin (4 x^{2} + K)$

خطوة 3.3

اضرب كلا المتعادلين في $4$ .

$4 \frac{y}{4} = 4 \sin (4 x^{2} + K)$

خطوة 3.4

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$4 \frac{y}{4} = 4 \sin (4 x^{2} + K)$

خطوة 3.4.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = 4 \sin (4 x^{2} + K)$