حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$2 x (1 + y^{2}) - y \frac{d y}{d x} (1 + x^{2}) = 0$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد قيمة $\frac{d y}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$2 x \cdot 1 + 2 x y^{2} - y \frac{d y}{d x} (1 + x^{2}) = 0$

خطوة 1.1.1.2

اضرب $2$ في $1$ .

$2 x + 2 x y^{2} - y \frac{d y}{d x} (1 + x^{2}) = 0$

خطوة 1.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$2 x + 2 x y^{2} - y \frac{d y}{d x} \cdot 1 - y \frac{d y}{d x} x^{2} = 0$

خطوة 1.1.1.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$2 x + 2 x y^{2} - y \frac{d y}{d x} - y \frac{d y}{d x} x^{2} = 0$

خطوة 1.1.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d y}{d x}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

اطرح $2 x$ من كلا المتعادلين.

$2 x y^{2} - y \frac{d y}{d x} - y \frac{d y}{d x} x^{2} = - 2 x$

خطوة 1.1.2.2

اطرح $2 x y^{2}$ من كلا المتعادلين.

$- y \frac{d y}{d x} - y \frac{d y}{d x} x^{2} = - 2 x - 2 x y^{2}$

خطوة 1.1.3

أخرِج العامل $y \frac{d y}{d x}$ من $- y \frac{d y}{d x} - y \frac{d y}{d x} x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

أخرِج العامل $y \frac{d y}{d x}$ من $- y \frac{d y}{d x}$ .

$y \frac{d y}{d x} \cdot - 1 - y \frac{d y}{d x} x^{2} = - 2 x - 2 x y^{2}$

خطوة 1.1.3.2

أخرِج العامل $y \frac{d y}{d x}$ من $- y \frac{d y}{d x} x^{2}$ .

$y \frac{d y}{d x} \cdot - 1 + y \frac{d y}{d x} (- 1 x^{2}) = - 2 x - 2 x y^{2}$

خطوة 1.1.3.3

أخرِج العامل $y \frac{d y}{d x}$ من $y \frac{d y}{d x} \cdot - 1 + y \frac{d y}{d x} (- 1 x^{2})$ .

$y \frac{d y}{d x} (- 1 - 1 x^{2}) = - 2 x - 2 x y^{2}$

خطوة 1.1.4

أعِد كتابة $- 1 x^{2}$ بالصيغة $- x^{2}$ .

$y \frac{d y}{d x} (- 1 - x^{2}) = - 2 x - 2 x y^{2}$

خطوة 1.1.5

اقسِم كل حد في $y \frac{d y}{d x} (- 1 - x^{2}) = - 2 x - 2 x y^{2}$ على $y (- 1 - x^{2})$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.1

اقسِم كل حد في $y \frac{d y}{d x} (- 1 - x^{2}) = - 2 x - 2 x y^{2}$ على $y (- 1 - x^{2})$ .

$\frac{y \frac{d y}{d x} (- 1 - x^{2})}{y (- 1 - x^{2})} = \frac{- 2 x}{y (- 1 - x^{2})} + \frac{- 2 x y^{2}}{y (- 1 - x^{2})}$

خطوة 1.1.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y \frac{d y}{d x} (- 1 - x^{2})}{y (- 1 - x^{2})} = \frac{- 2 x}{y (- 1 - x^{2})} + \frac{- 2 x y^{2}}{y (- 1 - x^{2})}$

خطوة 1.1.5.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\frac{d y}{d x} (- 1 - x^{2})}{- 1 - x^{2}} = \frac{- 2 x}{y (- 1 - x^{2})} + \frac{- 2 x y^{2}}{y (- 1 - x^{2})}$

خطوة 1.1.5.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $- 1 - x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\frac{d y}{d x} (- 1 - x^{2})}{- 1 - x^{2}} = \frac{- 2 x}{y (- 1 - x^{2})} + \frac{- 2 x y^{2}}{y (- 1 - x^{2})}$

خطوة 1.1.5.2.2.2

اقسِم $\frac{d y}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 x}{y (- 1 - x^{2})} + \frac{- 2 x y^{2}}{y (- 1 - x^{2})}$

خطوة 1.1.5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.3.1.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{y (- 1 - x^{2})} + \frac{- 2 x y^{2}}{y (- 1 - x^{2})}$

خطوة 1.1.5.3.1.2

احذِف العامل المشترك لـ $y^{2}$ و $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.3.1.2.1

أخرِج العامل $y$ من $- 2 x y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{y (- 1 - x^{2})} + \frac{y (- 2 x y)}{y (- 1 - x^{2})}$

خطوة 1.1.5.3.1.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.3.1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{y (- 1 - x^{2})} + \frac{y (- 2 x y)}{y (- 1 - x^{2})}$

خطوة 1.1.5.3.1.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{y (- 1 - x^{2})} + \frac{- 2 x y}{- 1 - x^{2}}$

خطوة 1.1.5.3.1.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{y (- 1 - x^{2})} - \frac{2 x y}{- 1 - x^{2}}$

خطوة 1.1.5.3.2

لكتابة $- \frac{2 x y}{- 1 - x^{2}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{y (- 1 - x^{2})} - \frac{2 x y}{- 1 - x^{2}} \cdot \frac{y}{y}$

خطوة 1.1.5.3.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $y (- 1 - x^{2})$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.3.3.1

اضرب $\frac{2 x y}{- 1 - x^{2}}$ في $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{y (- 1 - x^{2})} - \frac{2 x y \cdot y}{(- 1 - x^{2}) y}$

خطوة 1.1.5.3.3.2

أعِد ترتيب عوامل $(- 1 - x^{2}) y$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{y (- 1 - x^{2})} - \frac{2 x y \cdot y}{y (- 1 - x^{2})}$

خطوة 1.1.5.3.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 x - 2 x y \cdot y}{y (- 1 - x^{2})}$

خطوة 1.1.5.3.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.3.5.1

أخرِج العامل $2 x$ من $- 2 x - 2 x y \cdot y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.3.5.1.1

أخرِج العامل $2 x$ من $- 2 x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- 1) - 2 x y \cdot y}{y (- 1 - x^{2})}$

خطوة 1.1.5.3.5.1.2

أخرِج العامل $2 x$ من $- 2 x y \cdot y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- 1) + 2 x (- 1 y \cdot y)}{y (- 1 - x^{2})}$

خطوة 1.1.5.3.5.1.3

أخرِج العامل $2 x$ من $2 x (- 1) + 2 x (- 1 y \cdot y)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- 1 - 1 y \cdot y)}{y (- 1 - x^{2})}$

خطوة 1.1.5.3.5.2

اجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.3.5.2.1

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- 1 - 1 (y^{1} y))}{y (- 1 - x^{2})}$

خطوة 1.1.5.3.5.2.2

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- 1 - 1 (y^{1} y^{1}))}{y (- 1 - x^{2})}$

خطوة 1.1.5.3.5.2.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- 1 - 1 y^{1 + 1})}{y (- 1 - x^{2})}$

خطوة 1.1.5.3.5.2.4

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- 1 - 1 y^{2})}{y (- 1 - x^{2})}$

خطوة 1.1.5.3.5.3

أعِد كتابة $- 1 y^{2}$ بالصيغة $- y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- 1 - y^{2})}{y (- 1 - x^{2})}$

خطوة 1.1.5.3.6

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.3.6.1

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $- 1 (1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- 1 (1) - y^{2})}{y (- 1 - x^{2})}$

خطوة 1.1.5.3.6.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- 1 (1) - (y^{2}))}{y (- 1 - x^{2})}$

خطوة 1.1.5.3.6.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (1) - (y^{2})$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- 1 (1 + y^{2}))}{y (- 1 - x^{2})}$

خطوة 1.1.5.3.6.4

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $- 1 (1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- 1 (1 + y^{2}))}{y (- 1 (1) - x^{2})}$

خطوة 1.1.5.3.6.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- 1 (1 + y^{2}))}{y (- 1 (1) - (x^{2}))}$

خطوة 1.1.5.3.6.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (1) - (x^{2})$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- 1 (1 + y^{2}))}{y (- 1 (1 + x^{2}))}$

خطوة 1.1.5.3.6.7

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- 1 (1 + y^{2}))}{y (- 1 (1 + x^{2}))}$

خطوة 1.1.5.3.6.8

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (1 + y^{2})}{y (1 + x^{2})}$

خطوة 1.2

أعِد تجميع العوامل.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{1 + x^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{y}$

خطوة 1.3

اضرب كلا الطرفين في $\frac{y}{1 + y^{2}}$ .

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y^{2}} (\frac{2 x}{1 + x^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{y})$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

اضرب $\frac{2 x}{1 + x^{2}}$ في $\frac{1 + y^{2}}{y}$ .

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y^{2}} \cdot \frac{2 x (1 + y^{2})}{(1 + x^{2}) y}$

خطوة 1.4.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

أخرِج العامل $y$ من $(1 + x^{2}) y$ .

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y^{2}} \cdot \frac{2 x (1 + y^{2})}{y (1 + x^{2})}$

خطوة 1.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y^{2}} \cdot \frac{2 x (1 + y^{2})}{y (1 + x^{2})}$

خطوة 1.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} \cdot \frac{2 x (1 + y^{2})}{1 + x^{2}}$

خطوة 1.4.3

ألغِ العامل المشترك لـ $1 + y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.3.1

أخرِج العامل $1 + y^{2}$ من $2 x (1 + y^{2})$ .

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} \cdot \frac{(1 + y^{2}) (2 x)}{1 + x^{2}}$

خطوة 1.4.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} \cdot \frac{(1 + y^{2}) (2 x)}{1 + x^{2}}$

خطوة 1.4.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{1 + x^{2}}$

خطوة 1.5

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لنفترض أن $u_{1} = 1 + y^{2}$ . إذن $d u_{1} = 2 y d y$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{1} = y d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

افترض أن $u_{1} = 1 + y^{2}$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.1

أوجِد مشتقة $1 + y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y^{2}]$

خطوة 2.2.1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

خطوة 2.2.1.1.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

خطوة 2.2.1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$0 + 2 y$

خطوة 2.2.1.1.5

أضف $0$ و $2 y$ .

$2 y$

خطوة 2.2.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 2.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

اضرب $\frac{1}{u_{1}}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 2.2.2.2

انقُل $2$ إلى يسار $u_{1}$ .

$\int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} = \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 2.2.3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 2.2.4

تكامل $\frac{1}{u_{1}}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 2.2.5

بسّط.

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 2.2.6

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $1 + y^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = 2 \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 2.3.2

لنفترض أن $u_{2} = 1 + x^{2}$ . إذن $d u_{2} = 2 x d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

افترض أن $u_{2} = 1 + x^{2}$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

أوجِد مشتقة $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

خطوة 2.3.2.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.3.2.1.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.3.2.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$0 + 2 x$

خطوة 2.3.2.1.5

أضف $0$ و $2 x$ .

$2 x$

خطوة 2.3.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

خطوة 2.3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

اضرب $\frac{1}{u_{2}}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

خطوة 2.3.3.2

انقُل $2$ إلى يسار $u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

خطوة 2.3.4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

خطوة 2.3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 2.3.5.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 2.3.5.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = 1 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 2.3.5.3

اضرب $\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$ في $1$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 2.3.6

تكامل $\frac{1}{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

خطوة 2.3.7

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $1 + x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \ln (| 1 + x^{2} |) + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) = \ln (| 1 + x^{2} |) + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كلا المتعادلين في $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |)) = 2 (\ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

خطوة 3.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

بسّط $2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\ln (| 1 + y^{2} |)$ .

$2 \frac{\ln (| 1 + y^{2} |)}{2} = 2 (\ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

خطوة 3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{\ln (| 1 + y^{2} |)}{2} = 2 (\ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

خطوة 3.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 (\ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 \ln (| 1 + x^{2} |) + 2 C$

خطوة 3.3

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$\ln (| 1 + y^{2} |) - 2 \ln (| 1 + x^{2} |) = 2 C$

خطوة 3.4

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

بسّط $\ln (| 1 + y^{2} |) - 2 \ln (| 1 + x^{2} |)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.1.1

بسّط $- 2 \ln (| 1 + x^{2} |)$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$\ln (| 1 + y^{2} |) - \ln ({| 1 + x^{2} |}^{2}) = 2 C$

خطوة 3.4.1.1.2

احذِف القيمة المطلقة في ${| 1 + x^{2} |}^{2}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$\ln (| 1 + y^{2} |) - \ln ({(1 + x^{2})}^{2}) = 2 C$

خطوة 3.4.1.2

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 1 + y^{2} |}{{(1 + x^{2})}^{2}}) = 2 C$

خطوة 3.5

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (\frac{| 1 + y^{2} |}{{(1 + x^{2})}^{2}})} = e^{2 C}$

خطوة 3.6

أعِد كتابة $\ln (\frac{| 1 + y^{2} |}{{(1 + x^{2})}^{2}}) = 2 C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{2 C} = \frac{| 1 + y^{2} |}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

خطوة 3.7

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{| 1 + y^{2} |}{{(1 + x^{2})}^{2}} = e^{2 C}$ .

$\frac{| 1 + y^{2} |}{{(1 + x^{2})}^{2}} = e^{2 C}$

خطوة 3.7.2

اضرب كلا الطرفين في ${(1 + x^{2})}^{2}$ .

$\frac{| 1 + y^{2} |}{{(1 + x^{2})}^{2}} {(1 + x^{2})}^{2} = e^{2 C} {(1 + x^{2})}^{2}$

خطوة 3.7.3

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ ${(1 + x^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{| 1 + y^{2} |}{{(1 + x^{2})}^{2}} {(1 + x^{2})}^{2} = e^{2 C} {(1 + x^{2})}^{2}$

خطوة 3.7.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$| 1 + y^{2} | = e^{2 C} {(1 + x^{2})}^{2}$

خطوة 3.7.4

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.4.1

بسّط $e^{2 C} {(1 + x^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.4.1.1

أعِد كتابة ${(1 + x^{2})}^{2}$ بالصيغة $(1 + x^{2}) (1 + x^{2})$ .

$| 1 + y^{2} | = e^{2 C} ((1 + x^{2}) (1 + x^{2}))$

خطوة 3.7.4.1.2

وسّع $(1 + x^{2}) (1 + x^{2})$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.4.1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$| 1 + y^{2} | = e^{2 C} (1 (1 + x^{2}) + x^{2} (1 + x^{2}))$

خطوة 3.7.4.1.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$| 1 + y^{2} | = e^{2 C} (1 \cdot 1 + 1 x^{2} + x^{2} (1 + x^{2}))$

خطوة 3.7.4.1.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$| 1 + y^{2} | = e^{2 C} (1 \cdot 1 + 1 x^{2} + x^{2} \cdot 1 + x^{2} x^{2})$

خطوة 3.7.4.1.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.4.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.4.1.3.1.1

اضرب $1$ في $1$ .

$| 1 + y^{2} | = e^{2 C} (1 + 1 x^{2} + x^{2} \cdot 1 + x^{2} x^{2})$

خطوة 3.7.4.1.3.1.2

اضرب $x^{2}$ في $1$ .

$| 1 + y^{2} | = e^{2 C} (1 + x^{2} + x^{2} \cdot 1 + x^{2} x^{2})$

خطوة 3.7.4.1.3.1.3

اضرب $x^{2}$ في $1$ .

$| 1 + y^{2} | = e^{2 C} (1 + x^{2} + x^{2} + x^{2} x^{2})$

خطوة 3.7.4.1.3.1.4

اضرب $x^{2}$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.4.1.3.1.4.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$| 1 + y^{2} | = e^{2 C} (1 + x^{2} + x^{2} + x^{2 + 2})$

خطوة 3.7.4.1.3.1.4.2

أضف $2$ و $2$ .

$| 1 + y^{2} | = e^{2 C} (1 + x^{2} + x^{2} + x^{4})$

خطوة 3.7.4.1.3.2

أضف $x^{2}$ و $x^{2}$ .

$| 1 + y^{2} | = e^{2 C} (1 + 2 x^{2} + x^{4})$

خطوة 3.7.4.1.4

طبّق خاصية التوزيع.

$| 1 + y^{2} | = e^{2 C} \cdot 1 + e^{2 C} (2 x^{2}) + e^{2 C} x^{4}$

خطوة 3.7.4.1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.4.1.5.1

اضرب $e^{2 C}$ في $1$ .

$| 1 + y^{2} | = e^{2 C} + e^{2 C} (2 x^{2}) + e^{2 C} x^{4}$

خطوة 3.7.4.1.5.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$| 1 + y^{2} | = e^{2 C} + 2 e^{2 C} x^{2} + e^{2 C} x^{4}$

خطوة 3.7.4.1.6

أعِد ترتيب العوامل في $e^{2 C} + 2 e^{2 C} x^{2} + e^{2 C} x^{4}$ .

$| 1 + y^{2} | = e^{2 C} + 2 x^{2} e^{2 C} + x^{4} e^{2 C}$

خطوة 3.7.4.1.7

انقُل $e^{2 C}$ .

$| 1 + y^{2} | = 2 x^{2} e^{2 C} + x^{4} e^{2 C} + e^{2 C}$

خطوة 3.7.4.1.8

أعِد ترتيب $2 x^{2} e^{2 C}$ و $x^{4} e^{2 C}$ .

$| 1 + y^{2} | = x^{4} e^{2 C} + 2 x^{2} e^{2 C} + e^{2 C}$

خطوة 3.7.4.2

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$1 + y^{2} = \pm (x^{4} e^{2 C} + 2 x^{2} e^{2 C} + e^{2 C})$

خطوة 3.7.4.3

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$y^{2} = \pm (x^{4} e^{2 C} + 2 x^{2} e^{2 C} + e^{2 C}) - 1$

خطوة 3.7.4.4

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \pm \sqrt{\pm (x^{4} e^{2 C} + 2 x^{2} e^{2 C} + e^{2 C}) - 1}$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$y = \pm \sqrt{\pm (x^{4} C + 2 x^{2} C + C) - 1}$