حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d A}{d r} = A b^{2} \cos (b r)$ , $A (0) = b^{3}$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية في صورة $\frac{d A}{d r} + M (r) A = Q (r)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $M (r) \frac{d A}{d r} + P (r) A = Q (r)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

اطرح $A b^{2} \cos (b r)$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d A}{d r} - A b^{2} \cos (b r) = 0$

خطوة 1.1.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d A}{d r} - b^{2} A \cos (b r) = 0$

خطوة 1.2

أخرِج العامل $A$ من $- b^{2} A \cos (b r)$ .

$\frac{d A}{d r} + A (- b^{2} \cos (b r)) = 0$

خطوة 1.3

أعِد ترتيب $A$ و $- b^{2} \cos (b r)$ .

$\frac{d A}{d r} - b^{2} \cos (b r) A = 0$

خطوة 2

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (r) d r}$ ، حيث $P (r) = - b^{2} \cos (b r)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل.

$e^{\int - b^{2} \cos (b r) d r}$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل $- b^{2} \cos (b r)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $- b^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $r$ ، انقُل $- b^{2}$ خارج التكامل.

$e^{- b^{2} \int \cos (b r) d r}$

خطوة 2.2.2

لنفترض أن $u = b r$ . إذن $d u = b d r$ ، لذا $\frac{1}{b} d u = d r$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

افترض أن $u = b r$ . أوجِد $\frac{d u}{d r}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.1

أعِد الكتابة.

$1 b$

خطوة 2.2.2.1.2

اضرب $b$ في $1$ .

$b$

خطوة 2.2.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$e^{- b^{2} \int \cos (u) \frac{1}{b} d u}$

خطوة 2.2.3

اجمع $\cos (u)$ و $\frac{1}{b}$ .

$e^{- b^{2} \int \frac{\cos (u)}{b} d u}$

خطوة 2.2.4

بما أن $\frac{1}{b}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{b}$ خارج التكامل.

$e^{- b^{2} (\frac{1}{b} \int \cos (u) d u)}$

خطوة 2.2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.1

اجمع $\frac{1}{b}$ و $b^{2}$ .

$e^{- \frac{b^{2}}{b} \int \cos (u) d u}$

خطوة 2.2.5.2

احذِف العامل المشترك لـ $b^{2}$ و $b$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.2.1

أخرِج العامل $b$ من $b^{2}$ .

$e^{- \frac{b \cdot b}{b} \int \cos (u) d u}$

خطوة 2.2.5.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.2.2.1

ارفع $b$ إلى القوة $1$ .

$e^{- \frac{b \cdot b}{b^{1}} \int \cos (u) d u}$

خطوة 2.2.5.2.2.2

أخرِج العامل $b$ من $b^{1}$ .

$e^{- \frac{b \cdot b}{b \cdot 1} \int \cos (u) d u}$

خطوة 2.2.5.2.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$e^{- \frac{b \cdot b}{b \cdot 1} \int \cos (u) d u}$

خطوة 2.2.5.2.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$e^{- \frac{b}{1} \int \cos (u) d u}$

خطوة 2.2.5.2.2.5

اقسِم $b$ على $1$ .

$e^{- b \int \cos (u) d u}$

خطوة 2.2.6

تكامل $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ هو $\sin (u)$ .

$e^{- b (\sin (u) + C)}$

خطوة 2.2.7

بسّط.

$e^{- b \sin (u) + C}$

خطوة 2.2.8

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $b r$ .

$e^{- b \sin (b r) + C}$

خطوة 2.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{- b \sin (b r)}$

خطوة 3

اضرب كل حد في عامل التكامل $e^{- b \sin (b r)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كل حد في $e^{- b \sin (b r)}$ .

$e^{- b \sin (b r)} \frac{d A}{d r} + e^{- b \sin (b r)} (- b^{2} \cos (b r) A) = e^{- b \sin (b r)} \cdot 0$

خطوة 3.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$e^{- b \sin (b r)} \frac{d A}{d r} - e^{- b \sin (b r)} b^{2} \cos (b r) A = e^{- b \sin (b r)} \cdot 0$

خطوة 3.3

اضرب $e^{- b \sin (b r)}$ في $0$ .

$e^{- b \sin (b r)} \frac{d A}{d r} - e^{- b \sin (b r)} b^{2} \cos (b r) A = 0$

خطوة 3.4

أعِد ترتيب العوامل في $e^{- b \sin (b r)} \frac{d A}{d r} - e^{- b \sin (b r)} b^{2} \cos (b r) A = 0$ .

$e^{- b \sin (b r)} \frac{d A}{d r} - b^{2} A e^{- b \sin (b r)} \cos (b r) = 0$

خطوة 4

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d r} [e^{- b \sin (b r)} A] = 0$

خطوة 5

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d r} [e^{- b \sin (b r)} A] d r = \int 0 d r$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$e^{- b \sin (b r)} A = \int 0 d r$

خطوة 7

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

تكامل $0$ بالنسبة إلى $r$ هو $0$ .

$e^{- b \sin (b r)} A = 0 + C$

خطوة 7.2

أضف $0$ و $C$ .

$e^{- b \sin (b r)} A = C$

خطوة 8

اقسِم كل حد في $e^{- b \sin (b r)} A = C$ على $e^{- b \sin (b r)}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اقسِم كل حد في $e^{- b \sin (b r)} A = C$ على $e^{- b \sin (b r)}$ .

$\frac{e^{- b \sin (b r)} A}{e^{- b \sin (b r)}} = \frac{C}{e^{- b \sin (b r)}}$

خطوة 8.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{- b \sin (b r)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{- b \sin (b r)} A}{e^{- b \sin (b r)}} = \frac{C}{e^{- b \sin (b r)}}$

خطوة 8.2.1.2

اقسِم $A$ على $1$ .

$A = \frac{C}{e^{- b \sin (b r)}}$

خطوة 9

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $C$ بالتعويض بـ $0$ عن $r$ وبـ $b^{3}$ عن $A$ في $A = \frac{C}{e^{- b \sin (b r)}}$ .

$b^{3} = \frac{C}{e^{- b \sin (b \cdot 0)}}$

خطوة 10

أوجِد قيمة $b$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

اضرب كلا الطرفين في $e^{- b \sin (b \cdot 0)}$ .

$b^{3} e^{- b \sin (b \cdot 0)} = \frac{C}{e^{- b \sin (b \cdot 0)}} e^{- b \sin (b \cdot 0)}$

خطوة 10.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1.1

بسّط $b^{3} e^{- b \sin (b \cdot 0)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1.1.1

اضرب $b$ في $0$ .

$b^{3} e^{- b \sin (0)} = \frac{C}{e^{- b \sin (b \cdot 0)}} e^{- b \sin (b \cdot 0)}$

خطوة 10.2.1.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$b^{3} e^{- b \cdot 0} = \frac{C}{e^{- b \sin (b \cdot 0)}} e^{- b \sin (b \cdot 0)}$

خطوة 10.2.1.1.3

اضرب $- b \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1.1.3.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$b^{3} e^{0 b} = \frac{C}{e^{- b \sin (b \cdot 0)}} e^{- b \sin (b \cdot 0)}$

خطوة 10.2.1.1.3.2

اضرب $0$ في $b$ .

$b^{3} e^{0} = \frac{C}{e^{- b \sin (b \cdot 0)}} e^{- b \sin (b \cdot 0)}$

خطوة 10.2.1.1.4

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$b^{3} \cdot 1 = \frac{C}{e^{- b \sin (b \cdot 0)}} e^{- b \sin (b \cdot 0)}$

خطوة 10.2.1.1.5

اضرب $b^{3}$ في $1$ .

$b^{3} = \frac{C}{e^{- b \sin (b \cdot 0)}} e^{- b \sin (b \cdot 0)}$

خطوة 10.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{- b \sin (b \cdot 0)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$b^{3} = \frac{C}{e^{- b \sin (b \cdot 0)}} e^{- b \sin (b \cdot 0)}$

خطوة 10.2.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$b^{3} = C$

خطوة 10.3

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$b = \sqrt[3]{C}$

خطوة 11

عوّض بـ $\sqrt[3]{C}$ عن $C$ في $A = \frac{C}{e^{- b \sin (b r)}}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

عوّض بقيمة $b$ التي تساوي $\sqrt[3]{C}$ .

$A = \frac{C}{e^{- \sqrt[3]{C} \sin (\sqrt[3]{C} r)}}$