حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$e^{- y} (1 + \frac{d y}{d x}) = 1$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد قيمة $\frac{d y}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

اقسِم كل حد في $e^{- y} (1 + \frac{d y}{d x}) = 1$ على $e^{- y}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

اقسِم كل حد في $e^{- y} (1 + \frac{d y}{d x}) = 1$ على $e^{- y}$ .

$\frac{e^{- y} (1 + \frac{d y}{d x})}{e^{- y}} = \frac{1}{e^{- y}}$

خطوة 1.1.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{- y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{- y} (1 + \frac{d y}{d x})}{e^{- y}} = \frac{1}{e^{- y}}$

خطوة 1.1.1.2.1.2

اقسِم $1 + \frac{d y}{d x}$ على $1$ .

$1 + \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}}$

خطوة 1.1.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} - 1$

خطوة 1.2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{\frac{1}{e^{- y}} - 1}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{e^{- y}} - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{1}{e^{- y}} - 1} (\frac{1}{e^{- y}} - 1)$

خطوة 1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $\frac{1}{e^{- y}} - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{\frac{1}{e^{- y}} - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{1}{e^{- y}} - 1} (\frac{1}{e^{- y}} - 1)$

خطوة 1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{\frac{1}{e^{- y}} - 1} \frac{d y}{d x} = 1$

خطوة 1.4

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{\frac{1}{e^{- y}} - 1} d y = 1 d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{\frac{1}{e^{- y}} - 1} d y = \int d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.1

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{e^{- y}}{e^{- y}}$ .

$\int \frac{1}{\frac{1}{e^{- y}} - 1 \cdot \frac{e^{- y}}{e^{- y}}} d y = \int d x$

خطوة 2.2.1.1.2

اجمع $- 1$ و $\frac{e^{- y}}{e^{- y}}$ .

$\int \frac{1}{\frac{1}{e^{- y}} + \frac{- e^{- y}}{e^{- y}}} d y = \int d x$

خطوة 2.2.1.1.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\int \frac{1}{\frac{1 - e^{- y}}{e^{- y}}} d y = \int d x$

خطوة 2.2.1.2

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\int 1 \frac{e^{- y}}{1 - e^{- y}} d y = \int d x$

خطوة 2.2.1.3

اضرب $\frac{e^{- y}}{1 - e^{- y}}$ في $1$ .

$\int \frac{e^{- y}}{1 - e^{- y}} d y = \int d x$

خطوة 2.2.2

لنفترض أن $u_{2} = 1 - e^{- y}$ . إذن $d u_{2} = e^{- y} d y$ ، لذا $\frac{1}{e^{- y}} d u_{2} = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

افترض أن $u_{2} = 1 - e^{- y}$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.1

أوجِد مشتقة $1 - e^{- y}$ .

$\frac{d}{d y} [1 - e^{- y}]$

خطوة 2.2.2.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - e^{- y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- e^{- y}]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- e^{- y}]$

خطوة 2.2.2.1.2.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- e^{- y}]$

خطوة 2.2.2.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [- e^{- y}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- e^{- y}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- \frac{d}{d y} [e^{- y}]$ .

$0 - \frac{d}{d y} [e^{- y}]$

خطوة 2.2.2.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ هو $f' (g (y)) g' (y)$ حيث $f (y) = e^{y}$ و $g (y) = - y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $- y$ .

$0 - (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d y} [- y])$

خطوة 2.2.2.1.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$0 - (e^{u_{1}} \frac{d}{d y} [- y])$

خطوة 2.2.2.1.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $- y$ .

$0 - (e^{- y} \frac{d}{d y} [- y])$

خطوة 2.2.2.1.3.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 - (e^{- y} (- \frac{d}{d y} [y]))$

خطوة 2.2.2.1.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 - (e^{- y} (- 1 \cdot 1))$

خطوة 2.2.2.1.3.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$0 - (e^{- y} \cdot - 1)$

خطوة 2.2.2.1.3.6

انقُل $- 1$ إلى يسار $e^{- y}$ .

$0 - (- 1 \cdot e^{- y})$

خطوة 2.2.2.1.3.7

أعِد كتابة $- 1 e^{- y}$ بالصيغة $- e^{- y}$ .

$0 - - e^{- y}$

خطوة 2.2.2.1.3.8

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$0 + 1 e^{- y}$

خطوة 2.2.2.1.3.9

اضرب $e^{- y}$ في $1$ .

$0 + e^{- y}$

خطوة 2.2.2.1.4

أضف $0$ و $e^{- y}$ .

$e^{- y}$

خطوة 2.2.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d x$

خطوة 2.2.3

تكامل $\frac{1}{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| u_{2} |) + C_{1} = \int d x$

خطوة 2.2.4

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $1 - e^{- y}$ .

$\ln (| 1 - e^{- y} |) + C_{1} = \int d x$

خطوة 2.3

طبّق قاعدة الثابت.

$\ln (| 1 - e^{- y} |) + C_{1} = x + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\ln (| 1 - e^{- y} |) = x + C$