حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(1 + x) (y d) x + (1 - y) x d y = 0$

خطوة 1

اطرح $(1 + x) y d x$ من كلا المتعادلين.

$(1 - y) x d y = - (1 + x) y d x$

خطوة 2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{1}{x y} ((1 - y) x) d y = \frac{1}{x y} (- (1 + x) y) d x$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أخرِج العامل $x$ من $x y$ .

$\frac{1}{x (y)} ((1 - y) x) d y = \frac{1}{x y} (- (1 + x) y) d x$

خطوة 3.1.2

أخرِج العامل $x$ من $(1 - y) x$ .

$\frac{1}{x (y)} (x (1 - y)) d y = \frac{1}{x y} (- (1 + x) y) d x$

خطوة 3.1.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{x y} (x (1 - y)) d y = \frac{1}{x y} (- (1 + x) y) d x$

خطوة 3.1.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y} (1 - y) d y = \frac{1}{x y} (- (1 + x) y) d x$

خطوة 3.2

اضرب $\frac{1}{y}$ في $1 - y$ .

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{1}{x y} (- (1 + x) y) d x$

خطوة 3.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{1 - y}{y} d y = - \frac{1}{x y} ((1 + x) y) d x$

خطوة 3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{x y}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{- 1}{x y} ((1 + x) y) d x$

خطوة 3.4.2

أخرِج العامل $y$ من $x y$ .

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{- 1}{y x} ((1 + x) y) d x$

خطوة 3.4.3

أخرِج العامل $y$ من $(1 + x) y$ .

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{- 1}{y x} (y (1 + x)) d x$

خطوة 3.4.4

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{- 1}{y x} (y (1 + x)) d x$

خطوة 3.4.5

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{- 1}{x} (1 + x) d x$

خطوة 3.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1 - y}{y} d y = - \frac{1}{x} (1 + x) d x$

خطوة 3.6

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1 - y}{y} d y = (- \frac{1}{x} \cdot 1 - \frac{1}{x} x) d x$

خطوة 3.7

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1 - y}{y} d y = (- \frac{1}{x} - \frac{1}{x} x) d x$

خطوة 3.8

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{x}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{1 - y}{y} d y = (- \frac{1}{x} + \frac{- 1}{x} x) d x$

خطوة 3.8.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1 - y}{y} d y = (- \frac{1}{x} + \frac{- 1}{x} x) d x$

خطوة 3.8.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1 - y}{y} d y = (- \frac{1}{x} - 1) d x$

خطوة 4

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1 - y}{y} d y = \int - \frac{1}{x} - 1 d x$

خطوة 4.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

قسّم الكسر إلى عدة كسور.

$\int \frac{1}{y} + \frac{- y}{y} d y = \int - \frac{1}{x} - 1 d x$

خطوة 4.2.2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{- y}{y} d y = \int - \frac{1}{x} - 1 d x$

خطوة 4.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{- y}{y} d y = \int - \frac{1}{x} - 1 d x$

خطوة 4.2.3.2

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$\int \frac{1}{y} d y + \int - 1 d y = \int - \frac{1}{x} - 1 d x$

خطوة 4.2.4

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} + \int - 1 d y = \int - \frac{1}{x} - 1 d x$

خطوة 4.2.5

طبّق قاعدة الثابت.

$\ln (| y |) + C_{1} - y + C_{2} = \int - \frac{1}{x} - 1 d x$

خطوة 4.2.6

بسّط.

$\ln (| y |) - y + C_{3} = \int - \frac{1}{x} - 1 d x$

خطوة 4.2.7

أعِد ترتيب الحدود.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = \int - \frac{1}{x} - 1 d x$

خطوة 4.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = \int - \frac{1}{x} d x + \int - 1 d x$

خطوة 4.3.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int \frac{1}{x} d x + \int - 1 d x$

خطوة 4.3.3

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (\ln (| x |) + C_{4}) + \int - 1 d x$

خطوة 4.3.4

طبّق قاعدة الثابت.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (\ln (| x |) + C_{4}) - x + C_{5}$

خطوة 4.3.5

بسّط.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - \ln (| x |) - x + C_{6}$

خطوة 4.3.6

أعِد ترتيب الحدود.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - x - \ln (| x |) + C_{6}$

خطوة 4.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$- y + \ln (| y |) = - x - \ln (| x |) + C$