حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x (y d) x + (x + 1) d y = 0$

خطوة 1

اطرح $x y d x$ من كلا المتعادلين.

$(x + 1) d y = - x y d x$

خطوة 2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{(x + 1) y}$ .

$\frac{1}{(x + 1) y} (x + 1) d y = \frac{1}{(x + 1) y} (- x y) d x$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أخرِج العامل $x + 1$ من $(x + 1) y$ .

$\frac{1}{(x + 1) (y)} (x + 1) d y = \frac{1}{(x + 1) y} (- x y) d x$

خطوة 3.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{(x + 1) y} (x + 1) d y = \frac{1}{(x + 1) y} (- x y) d x$

خطوة 3.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(x + 1) y} (- x y) d x$

خطوة 3.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{(x + 1) y} (x y) d x$

خطوة 3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{(x + 1) y}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{(x + 1) y} (x y) d x$

خطوة 3.3.2

أخرِج العامل $y$ من $(x + 1) y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (x + 1)} (x y) d x$

خطوة 3.3.3

أخرِج العامل $y$ من $x y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (x + 1)} (y x) d x$

خطوة 3.3.4

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (x + 1)} (y x) d x$

خطوة 3.3.5

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{x + 1} x d x$

خطوة 3.4

اجمع $\frac{- 1}{x + 1}$ و $x$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- x}{x + 1} d x$

خطوة 3.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x}{x + 1} d x$

خطوة 4

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{x}{x + 1} d x$

خطوة 4.2

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{x}{x + 1} d x$

خطوة 4.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{x}{x + 1} d x$

خطوة 4.3.2

اقسِم $x$ على $x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x$

$1$

$x$

$0$

خطوة 4.3.2.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $x$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

					$1$
	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

خطوة 4.3.2.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$1$

خطوة 4.3.2.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $x + 1$

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$

خطوة 4.3.2.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$
					-	$1$

خطوة 4.3.2.6

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int 1 - \frac{1}{x + 1} d x$

خطوة 4.3.3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\int d x + \int - \frac{1}{x + 1} d x)$

خطوة 4.3.4

طبّق قاعدة الثابت.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (x + C_{2} + \int - \frac{1}{x + 1} d x)$

خطوة 4.3.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (x + C_{2} - \int \frac{1}{x + 1} d x)$

خطوة 4.3.6

لنفترض أن $u = x + 1$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.6.1

افترض أن $u = x + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.6.1.1

أوجِد مشتقة $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

خطوة 4.3.6.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 4.3.6.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 4.3.6.1.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 4.3.6.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 4.3.6.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (x + C_{2} - \int \frac{1}{u} d u)$

خطوة 4.3.7

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (x + C_{2} - (\ln (| u |) + C_{3}))$

خطوة 4.3.8

بسّط.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (x - \ln (| u |)) + C_{4}$

خطوة 4.3.9

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (x - \ln (| x + 1 |)) + C_{4}$

خطوة 4.3.10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.10.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\ln (| y |) + C_{1} = - x - - \ln (| x + 1 |) + C_{4}$

خطوة 4.3.10.2

اضرب $- - \ln (| x + 1 |)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.10.2.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - x + 1 \ln (| x + 1 |) + C_{4}$

خطوة 4.3.10.2.2

اضرب $\ln (| x + 1 |)$ في $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - x + \ln (| x + 1 |) + C_{4}$

خطوة 4.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\ln (| y |) = - x + \ln (| x + 1 |) + C$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$\ln (| y |) - \ln (| x + 1 |) = - x + C$

خطوة 5.2

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{| x + 1 |}) = - x + C$

خطوة 5.3

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (\frac{| y |}{| x + 1 |})} = e^{- x + C}$

خطوة 5.4

أعِد كتابة $\ln (\frac{| y |}{| x + 1 |}) = - x + C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{- x + C} = \frac{| y |}{| x + 1 |}$

خطوة 5.5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{| y |}{| x + 1 |} = e^{- x + C}$ .

$\frac{| y |}{| x + 1 |} = e^{- x + C}$

خطوة 5.5.2

اضرب كلا الطرفين في $| x + 1 |$ .

$\frac{| y |}{| x + 1 |} | x + 1 | = e^{- x + C} | x + 1 |$

خطوة 5.5.3

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $| x + 1 |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{| y |}{| x + 1 |} | x + 1 | = e^{- x + C} | x + 1 |$

خطوة 5.5.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$| y | = e^{- x + C} | x + 1 |$

خطوة 5.5.4

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.4.1

أعِد ترتيب العوامل في $e^{- x + C} | x + 1 |$ .

$| y | = | x + 1 | e^{- x + C}$

خطوة 5.5.4.2

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$y = \pm | x + 1 | e^{- x + C}$

خطوة 6

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أعِد كتابة $e^{- x + C}$ بالصيغة $e^{- x} e^{C}$ .

$y = \pm | x + 1 | (e^{- x} e^{C})$

خطوة 6.2

أعِد ترتيب $e^{- x}$ و $e^{C}$ .

$y = \pm | x + 1 | (e^{C} e^{- x})$

خطوة 6.3

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$y = C | x + 1 | e^{- x}$