حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y d x = x (1 + x y^{4}) d y$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية لتناسب المعادلة التفضيلية التامة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اطرح $x (1 + x y^{4}) d y$ من كلا المتعادلين.

$y d x - x (1 + x y^{4}) d y = 0$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

خطوة 3

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = - x (1 + x y^{4})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- x (1 + x y^{4})]$

خطوة 3.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x (1 + x y^{4})$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x (1 + x y^{4})]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x (1 + x y^{4})]$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = 1 + x y^{4}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x \frac{d}{d x} [1 + x y^{4}] + (1 + x y^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + x y^{4}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x y^{4}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x y^{4}]) + (1 + x y^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.4.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x (0 + \frac{d}{d x} [x y^{4}]) + (1 + x y^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.4.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [x y^{4}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x \frac{d}{d x} [x y^{4}] + (1 + x y^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.4.4

بما أن $y^{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $x y^{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y^{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x (y^{4} \frac{d}{d x} [x]) + (1 + x y^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.4.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x (y^{4} \cdot 1) + (1 + x y^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.4.6

اضرب $y^{4}$ في $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x y^{4} + (1 + x y^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.4.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x y^{4} + (1 + x y^{4}) \cdot 1)$

خطوة 3.4.8

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.8.1

اضرب $1 + x y^{4}$ في $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x y^{4} + 1 + x y^{4})$

خطوة 3.4.8.2

أضف $x y^{4}$ و $x y^{4}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x y^{4} + 1)$

خطوة 3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x y^{4}) - 1 \cdot 1$

خطوة 3.5.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 (x y^{4}) - 1 \cdot 1$

خطوة 3.5.2.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x y^{4} - 1$

خطوة 3.5.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 y^{4} x - 1$

خطوة 4

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بـ $1$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $- 2 y^{4} x - 1$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$1 = - 2 y^{4} x - 1$

خطوة 4.2

بما أن الطرف الأيسر لا يساوي الطرف الأيمن، إذن المعادلة لا تمثل متطابقة.

$1 = - 2 y^{4} x - 1$ لا تمثل متطابقة.

خطوة 5

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $\frac{\partial M}{\partial y}$ التي تساوي $1$ .

$\frac{1 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

خطوة 5.2

عوّض بقيمة $\frac{\partial N}{\partial x}$ التي تساوي $- 2 y^{4} x - 1$ .

$\frac{1 - (- 2 y^{4} x - 1)}{N}$

خطوة 5.3

عوّض بقيمة $N$ التي تساوي $- x (1 + x y^{4})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

عوّض بقيمة $N$ التي تساوي $- x (1 + x y^{4})$ .

$\frac{1 - (- 2 y^{4} x - 1)}{- x (1 + x y^{4})}$

خطوة 5.3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1 - (- 2 y^{4} x) - - 1}{- x (1 + x y^{4})}$

خطوة 5.3.2.2

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$\frac{1 + 2 (y^{4} x) - - 1}{- x (1 + x y^{4})}$

خطوة 5.3.2.3

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{1 + 2 (y^{4} x) + 1}{- x (1 + x y^{4})}$

خطوة 5.3.2.4

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{2 y^{4} x + 2}{- x (1 + x y^{4})}$

خطوة 5.3.2.5

أخرِج العامل $2$ من $2 y^{4} x + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.5.1

أخرِج العامل $2$ من $2 y^{4} x$ .

$\frac{2 (y^{4} x) + 2}{- x (1 + x y^{4})}$

خطوة 5.3.2.5.2

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 (y^{4} x) + 2 (1)}{- x (1 + x y^{4})}$

خطوة 5.3.2.5.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (y^{4} x) + 2 (1)$ .

$\frac{2 (y^{4} x + 1)}{- x (1 + x y^{4})}$

خطوة 5.3.3

احذِف العامل المشترك لـ $y^{4} x + 1$ و $1 + x y^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{2 (y^{4} x + 1)}{- x (y^{4} x + 1)}$

خطوة 5.3.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (y^{4} x + 1)}{- x (y^{4} x + 1)}$

خطوة 5.3.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2}{- x}$

خطوة 5.3.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{2}{x}$

خطوة 5.4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

خطوة 6

احسِب قيمة تكامل $e^{\int - \frac{2}{x} d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

خطوة 6.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

خطوة 6.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

خطوة 6.4

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

خطوة 6.5

بسّط.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| x |)} + C$

خطوة 6.6

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.1

بسّط $- 2 \ln (| x |)$ بنقل $- 2$ داخل اللوغاريتم.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 2})} + C$

خطوة 6.6.2

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 2} + C$

خطوة 6.6.3

احذِف القيمة المطلقة في ${| x |}^{- 2}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$μ (x, y) = x^{- 2} + C$

خطوة 6.6.4

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{x^{2}} + C$

خطوة 7

اضرب كلا طرفي $y d x - x (1 + x y^{4}) d y = 0$ في عامل التكامل $\frac{1}{x^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب $y$ في $\frac{1}{x^{2}}$ .

$y \frac{1}{x^{2}} d x - x (1 + x y^{4}) d y = 0$

خطوة 7.2

اجمع $y$ و $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{y}{x^{2}} d x - x (1 + x y^{4}) d y = 0$

خطوة 7.3

اضرب $- x (1 + x y^{4})$ في $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{y}{x^{2}} d x - x (1 + x y^{4}) \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

خطوة 7.4

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1

أخرِج العامل $x$ من $- x (1 + x y^{4})$ .

$\frac{y}{x^{2}} d x + x (- 1 (1 + x y^{4})) \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

خطوة 7.4.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$\frac{y}{x^{2}} d x + x (- 1 (1 + x y^{4})) \frac{1}{x \cdot x} d y = 0$

خطوة 7.4.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y}{x^{2}} d x + x (- 1 (1 + x y^{4})) \frac{1}{x \cdot x} d y = 0$

خطوة 7.4.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y}{x^{2}} d x - 1 (1 + x y^{4}) \frac{1}{x} d y = 0$

خطوة 7.5

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{y}{x^{2}} d x + (- 1 \cdot 1 - 1 (x y^{4})) \frac{1}{x} d y = 0$

خطوة 7.6

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{y}{x^{2}} d x + (- 1 - 1 (x y^{4})) \frac{1}{x} d y = 0$

خطوة 7.7

أعِد كتابة $- 1 (x y^{4})$ بالصيغة $- (x y^{4})$ .

$\frac{y}{x^{2}} d x + (- 1 - (x y^{4})) \frac{1}{x} d y = 0$

خطوة 7.8

اضرب $- 1 - x y^{4}$ في $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y}{x^{2}} d x + \frac{- 1 - x y^{4}}{x} d y = 0$

خطوة 7.9

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $- 1 (1)$ .

$\frac{y}{x^{2}} d x + \frac{- 1 (1) - x y^{4}}{x} d y = 0$

خطوة 7.10

أخرِج العامل $- 1$ من $- x y^{4}$ .

$\frac{y}{x^{2}} d x + \frac{- 1 (1) - (x y^{4})}{x} d y = 0$

خطوة 7.11

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (1) - (x y^{4})$ .

$\frac{y}{x^{2}} d x + \frac{- 1 (1 + x y^{4})}{x} d y = 0$

خطوة 7.12

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{y}{x^{2}} d x - \frac{1 + x y^{4}}{x} d y = 0$

خطوة 8

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{y}{x^{2}} d x$

خطوة 9

أوجِد التكامل لـ $M (x, y) = \frac{y}{x^{2}}$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

بما أن $y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $y$ خارج التكامل.

$f (x, y) = y \int \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 9.2

انقُل $x^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$f (x, y) = y \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

خطوة 9.3

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x, y) = y \int x^{2 \cdot - 1} d x$

خطوة 9.3.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f (x, y) = y \int x^{- 2} d x$

خطوة 9.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- 2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $- x^{- 1}$ .

$f (x, y) = y (- x^{- 1} + C)$

خطوة 9.5

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.5.1

أعِد كتابة $y (- x^{- 1} + C)$ بالصيغة $y (- \frac{1}{x}) + C$ .

$f (x, y) = y (- \frac{1}{x}) + C$

خطوة 9.5.2

اجمع $y$ و $\frac{1}{x}$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{x} + C$

خطوة 10

بما أن تكامل $g (y)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (y)$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{x} + g (y)$

خطوة 11

عيّن $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{1 + x y^{4}}{x}$

خطوة 12

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{d}{d y} [- \frac{y}{x} + g (y)] = - \frac{1 + x y^{4}}{x}$

خطوة 12.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- \frac{y}{x} + g (y)$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [- \frac{y}{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [- \frac{y}{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y^{4}}{x}$

خطوة 12.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [- \frac{y}{x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.1

بما أن $- \frac{1}{x}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- \frac{y}{x}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- \frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y^{4}}{x}$

خطوة 12.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y^{4}}{x}$

خطوة 12.3.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- \frac{1}{x} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y^{4}}{x}$

خطوة 12.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (y)$ هو $\frac{d g}{d y}$ .

$- \frac{1}{x} + \frac{d g}{d y} = - \frac{1 + x y^{4}}{x}$

خطوة 12.5

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d y} - \frac{1}{x} = - \frac{1 + x y^{4}}{x}$

خطوة 13

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على متغيرات إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1.1

أضف $\frac{1 + x y^{4}}{x}$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d y} - \frac{1}{x} + \frac{1 + x y^{4}}{x} = 0$

خطوة 13.1.1.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 1 + 1 + x y^{4}}{x} = 0$

خطوة 13.1.1.3

أضف $- 1$ و $1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{0 + x y^{4}}{x} = 0$

خطوة 13.1.1.4

أضف $0$ و $x y^{4}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x y^{4}}{x} = 0$

خطوة 13.1.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x y^{4}}{x} = 0$

خطوة 13.1.1.5.2

اقسِم $y^{4}$ على $1$ .

$\frac{d g}{d y} + y^{4} = 0$

خطوة 13.1.2

اطرح $y^{4}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d y} = - y^{4}$

خطوة 14

أوجِد المشتق العكسي لـ $- y^{4}$ لإيجاد $g (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d y} = - y^{4}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - y^{4} d y$

خطوة 14.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - y^{4} d y$

خطوة 14.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$g (y) = - \int y^{4} d y$

خطوة 14.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y^{4}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{5} y^{5}$ .

$g (y) = - (\frac{1}{5} y^{5} + C)$

خطوة 14.5

أعِد كتابة $- (\frac{1}{5} y^{5} + C)$ بالصيغة $- \frac{1}{5} y^{5} + C$ .

$g (y) = - \frac{1}{5} y^{5} + C$

خطوة 15

عوّض عن $g (y)$ في $f (x, y) = - \frac{y}{x} + g (y)$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{x} - \frac{1}{5} y^{5} + C$

خطوة 16

اجمع $y^{5}$ و $\frac{1}{5}$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{x} - \frac{y^{5}}{5} + C$