حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{y}}{e^{x}}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{e^{y}}$ .

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{y}} \cdot \frac{e^{y}}{e^{x}}$

خطوة 1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

اجمع.

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 e^{y}}{e^{y} e^{x}}$

خطوة 1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 e^{y}}{e^{y + x}}$

خطوة 1.2.3

اضرب $e^{y}$ في $1$ .

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{e^{y}}{e^{y + x}}$

خطوة 1.2.4

احذِف العامل المشترك لـ $e^{y}$ و $e^{y + x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

أخرِج العامل $e^{y + x}$ من $e^{y}$ .

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{e^{y + x} e^{y - (y + x)}}{e^{y + x}}$

خطوة 1.2.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.1

اضرب في $1$ .

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{e^{y + x} e^{y - (y + x)}}{e^{y + x} \cdot 1}$

خطوة 1.2.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{e^{y + x} e^{y - (y + x)}}{e^{y + x} \cdot 1}$

خطوة 1.2.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{e^{y - (y + x)}}{1}$

خطوة 1.2.4.2.4

اقسِم $e^{y - (y + x)}$ على $1$ .

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = e^{y - (y + x)}$

خطوة 1.2.5

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = e^{y - y - x}$

خطوة 1.2.6

اطرح $y$ من $y$ .

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = e^{0 - x}$

خطوة 1.2.7

اطرح $x$ من $0$ .

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = e^{- x}$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{e^{y}} d y = e^{- x} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{e^{y}} d y = \int e^{- x} d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

اعكِس علامة أُس $e^{y}$ وأخرِجها من القاسم.

$\int 1 {(e^{y})}^{- 1} d y = \int e^{- x} d x$

خطوة 2.2.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.2.1

اضرب الأُسس في ${(e^{y})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.2.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{y \cdot - 1} d y = \int e^{- x} d x$

خطوة 2.2.1.2.1.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $y$ .

$\int 1 e^{- 1 \cdot y} d y = \int e^{- x} d x$

خطوة 2.2.1.2.1.3

أعِد كتابة $- 1 y$ بالصيغة $- y$ .

$\int 1 e^{- y} d y = \int e^{- x} d x$

خطوة 2.2.1.2.2

اضرب $e^{- y}$ في $1$ .

$\int e^{- y} d y = \int e^{- x} d x$

خطوة 2.2.2

لنفترض أن $u_{1} = - y$ . إذن $d u_{1} = - d y$ ، لذا $- d u_{1} = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

افترض أن $u_{1} = - y$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.1

أوجِد مشتقة $- y$ .

$\frac{d}{d y} [- y]$

خطوة 2.2.2.1.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 2.2.2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

خطوة 2.2.2.1.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 1$

خطوة 2.2.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$\int - e^{u_{1}} d u_{1} = \int e^{- x} d x$

خطوة 2.2.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int e^{u_{1}} d u_{1} = \int e^{- x} d x$

خطوة 2.2.4

تكامل $e^{u_{1}}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $e^{u_{1}}$ .

$- (e^{u_{1}} + C_{1}) = \int e^{- x} d x$

خطوة 2.2.5

بسّط.

$- e^{u_{1}} + C_{1} = \int e^{- x} d x$

خطوة 2.2.6

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $- y$ .

$- e^{- y} + C_{1} = \int e^{- x} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

لنفترض أن $u_{2} = - x$ . إذن $d u_{2} = - d x$ ، لذا $- d u_{2} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

افترض أن $u_{2} = - x$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.1

أوجِد مشتقة $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 2.3.1.1.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

خطوة 2.3.1.1.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 1$

خطوة 2.3.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$- e^{- y} + C_{1} = \int - e^{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 2.3.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- e^{- y} + C_{1} = - \int e^{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 2.3.3

تكامل $e^{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $e^{u_{2}}$ .

$- e^{- y} + C_{1} = - (e^{u_{2}} + C_{2})$

خطوة 2.3.4

بسّط.

$- e^{- y} + C_{1} = - e^{u_{2}} + C_{2}$

خطوة 2.3.5

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $- x$ .

$- e^{- y} + C_{1} = - e^{- x} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$- e^{- y} = - e^{- x} + K$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اقسِم كل حد في $- e^{- y} = - e^{- x} + K$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

اقسِم كل حد في $- e^{- y} = - e^{- x} + K$ على $- 1$ .

$\frac{- e^{- y}}{- 1} = \frac{- e^{- x}}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

خطوة 3.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{e^{- y}}{1} = \frac{- e^{- x}}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

خطوة 3.1.2.2

اقسِم $e^{- y}$ على $1$ .

$e^{- y} = \frac{- e^{- x}}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

خطوة 3.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$e^{- y} = \frac{e^{- x}}{1} + \frac{K}{- 1}$

خطوة 3.1.3.1.2

اقسِم $e^{- x}$ على $1$ .

$e^{- y} = e^{- x} + \frac{K}{- 1}$

خطوة 3.1.3.1.3

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{K}{- 1}$ .

$e^{- y} = e^{- x} - 1 \cdot K$

خطوة 3.1.3.1.4

أعِد كتابة $- 1 \cdot K$ بالصيغة $- K$ .

$e^{- y} = e^{- x} - K$

خطوة 3.2

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{- y}) = \ln (e^{- x} - K)$

خطوة 3.3

وسّع الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

وسّع $\ln (e^{- y})$ بنقل $- y$ خارج اللوغاريتم.

$- y \ln (e) = \ln (e^{- x} - K)$

خطوة 3.3.2

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$- y \cdot 1 = \ln (e^{- x} - K)$

خطوة 3.3.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- y = \ln (e^{- x} - K)$

خطوة 3.4

اقسِم كل حد في $- y = \ln (e^{- x} - K)$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

اقسِم كل حد في $- y = \ln (e^{- x} - K)$ على $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\ln (e^{- x} - K)}{- 1}$

خطوة 3.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{y}{1} = \frac{\ln (e^{- x} - K)}{- 1}$

خطوة 3.4.2.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\ln (e^{- x} - K)}{- 1}$

خطوة 3.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.1

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{\ln (e^{- x} - K)}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot \ln (e^{- x} - K)$

خطوة 3.4.3.2

أعِد كتابة $- 1 \cdot \ln (e^{- x} - K)$ بالصيغة $- \ln (e^{- x} - K)$ .

$y = - \ln (e^{- x} - K)$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$y = - \ln (e^{- x} + K)$