حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$25 \frac{d T}{d t} + T = 80 e^{- 0.04 t}$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية في صورة $\frac{d T}{d t} + M (t) T = Q (t)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اقسِم كل حد في $25 \frac{d T}{d t} + T = 80 e^{- 0.04 t}$ على $25$ .

$\frac{25 \frac{d T}{d t}}{25} + \frac{T}{25} = \frac{80 e^{- 0.04 t}}{25}$

خطوة 1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $25$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{25 \frac{d T}{d t}}{25} + \frac{T}{25} = \frac{80 e^{- 0.04 t}}{25}$

خطوة 1.2.2

اقسِم $\frac{d T}{d t}$ على $1$ .

$\frac{d T}{d t} + \frac{T}{25} = \frac{80 e^{- 0.04 t}}{25}$

خطوة 1.3

احذِف العامل المشترك لـ $80$ و $25$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أخرِج العامل $5$ من $80 e^{- 0.04 t}$ .

$\frac{d T}{d t} + \frac{T}{25} = \frac{5 (16 e^{- 0.04 t})}{25}$

خطوة 1.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

أخرِج العامل $5$ من $25$ .

$\frac{d T}{d t} + \frac{T}{25} = \frac{5 (16 e^{- 0.04 t})}{5 (5)}$

خطوة 1.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d T}{d t} + \frac{T}{25} = \frac{5 (16 e^{- 0.04 t})}{5 \cdot 5}$

خطوة 1.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d T}{d t} + \frac{T}{25} = \frac{16 e^{- 0.04 t}}{5}$

خطوة 1.4

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d T}{d t} + \frac{1}{25} T = \frac{16}{5} e^{- 0.04 t}$

خطوة 2

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (t) d t}$ ، حيث $P (t) = \frac{1}{25}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل.

$e^{\int \frac{1}{25} d t}$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$e^{\frac{1}{25} t + C}$

خطوة 2.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{\frac{1}{25} t}$

خطوة 2.4

اجمع $\frac{1}{25}$ و $t$ .

$e^{\frac{t}{25}}$

خطوة 3

اضرب كل حد في عامل التكامل $e^{\frac{t}{25}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كل حد في $e^{\frac{t}{25}}$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + e^{\frac{t}{25}} (\frac{1}{25} T) = e^{\frac{t}{25}} (\frac{16}{5} e^{- 0.04 t})$

خطوة 3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{1}{25} e^{\frac{t}{25}} T = e^{\frac{t}{25}} (\frac{16}{5} e^{- 0.04 t})$

خطوة 3.2.2

اجمع $\frac{1}{25}$ و $e^{\frac{t}{25}}$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}}}{25} T = e^{\frac{t}{25}} (\frac{16}{5} e^{- 0.04 t})$

خطوة 3.2.3

اجمع $\frac{e^{\frac{t}{25}}}{25}$ و $T$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = e^{\frac{t}{25}} (\frac{16}{5} e^{- 0.04 t})$

خطوة 3.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5} e^{\frac{t}{25}} e^{- 0.04 t}$

خطوة 3.4

اضرب $e^{\frac{t}{25}}$ في $e^{- 0.04 t}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

انقُل $e^{- 0.04 t}$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5} (e^{- 0.04 t} e^{\frac{t}{25}})$

خطوة 3.4.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5} e^{- 0.04 t + \frac{t}{25}}$

خطوة 3.4.3

لكتابة $- 0.04 t$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{25}{25}$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5} e^{- 0.04 t \cdot \frac{25}{25} + \frac{t}{25}}$

خطوة 3.4.4

اجمع $- 0.04 t$ و $\frac{25}{25}$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5} e^{\frac{- 0.04 t \cdot 25}{25} + \frac{t}{25}}$

خطوة 3.4.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5} e^{\frac{- 0.04 t \cdot 25 + t}{25}}$

خطوة 3.4.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.6.1

أخرِج العامل $t$ من $- 0.04 t \cdot 25 + t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.6.1.1

أخرِج العامل $t$ من $- 0.04 t \cdot 25$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5} e^{\frac{t (- 0.04 \cdot 25) + t}{25}}$

خطوة 3.4.6.1.2

ارفع $t$ إلى القوة $1$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5} e^{\frac{t (- 0.04 \cdot 25) + t^{1}}{25}}$

خطوة 3.4.6.1.3

أخرِج العامل $t$ من $t^{1}$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5} e^{\frac{t (- 0.04 \cdot 25) + t \cdot 1}{25}}$

خطوة 3.4.6.1.4

أخرِج العامل $t$ من $t (- 0.04 \cdot 25) + t \cdot 1$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5} e^{\frac{t (- 0.04 \cdot 25 + 1)}{25}}$

خطوة 3.4.6.2

اضرب $- 0.04$ في $25$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5} e^{\frac{t (- 1 + 1)}{25}}$

خطوة 3.4.6.3

أضف $- 1$ و $1$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5} e^{\frac{t \cdot 0}{25}}$

خطوة 3.4.7

اضرب $t$ في $0$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5} e^{\frac{0}{25}}$

خطوة 3.4.8

اقسِم $0$ على $25$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5} e^{0}$

خطوة 3.5

بسّط $\frac{16}{5} e^{0}$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5}$

خطوة 3.6

أعِد ترتيب العوامل في $e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5}$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{T e^{\frac{t}{25}}}{25} = \frac{16}{5}$

خطوة 4

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d t} [e^{\frac{t}{25}} T] = \frac{16}{5}$

خطوة 5

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d t} [e^{\frac{t}{25}} T] d t = \int \frac{16}{5} d t$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$e^{\frac{t}{25}} T = \int \frac{16}{5} d t$

خطوة 7

طبّق قاعدة الثابت.

$e^{\frac{t}{25}} T = \frac{16}{5} t + C$

خطوة 8

اقسِم كل حد في $e^{\frac{t}{25}} T = \frac{16}{5} t + C$ على $e^{\frac{t}{25}}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اقسِم كل حد في $e^{\frac{t}{25}} T = \frac{16}{5} t + C$ على $e^{\frac{t}{25}}$ .

$\frac{e^{\frac{t}{25}} T}{e^{\frac{t}{25}}} = \frac{\frac{16}{5} t}{e^{\frac{t}{25}}} + \frac{C}{e^{\frac{t}{25}}}$

خطوة 8.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{\frac{t}{25}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{\frac{t}{25}} T}{e^{\frac{t}{25}}} = \frac{\frac{16}{5} t}{e^{\frac{t}{25}}} + \frac{C}{e^{\frac{t}{25}}}$

خطوة 8.2.1.2

اقسِم $T$ على $1$ .

$T = \frac{\frac{16}{5} t}{e^{\frac{t}{25}}} + \frac{C}{e^{\frac{t}{25}}}$

خطوة 8.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1

اجمع $\frac{16}{5}$ و $t$ .

$T = \frac{\frac{16 t}{5}}{e^{\frac{t}{25}}} + \frac{C}{e^{\frac{t}{25}}}$

خطوة 8.3.1.2

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$T = \frac{16 t}{5} \cdot \frac{1}{e^{\frac{t}{25}}} + \frac{C}{e^{\frac{t}{25}}}$

خطوة 8.3.1.3

اجمع.

$T = \frac{16 t \cdot 1}{5 e^{\frac{t}{25}}} + \frac{C}{e^{\frac{t}{25}}}$

خطوة 8.3.1.4

اضرب $16$ في $1$ .

$T = \frac{16 t}{5 e^{\frac{t}{25}}} + \frac{C}{e^{\frac{t}{25}}}$