حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = x^{3} - 3$

خطوة 1

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = \frac{1}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عيّن التكامل.

$e^{\int \frac{1}{x} d x}$

خطوة 1.2

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$e^{\ln (| x |) + C}$

خطوة 1.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{\ln (x)}$

خطوة 1.4

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$x$

خطوة 2

اضرب كل حد في عامل التكامل $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب كل حد في $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + x (\frac{1}{x} y) = x \cdot x^{3} + x \cdot - 3$

خطوة 2.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

اجمع $\frac{1}{x}$ و $y$ .

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x \cdot x^{3} + x \cdot - 3$

خطوة 2.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x \cdot x^{3} + x \cdot - 3$

خطوة 2.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$x \frac{d y}{d x} + y = x \cdot x^{3} + x \cdot - 3$

خطوة 2.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اضرب $x$ في $x^{3}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

اضرب $x$ في $x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + y = x^{1} x^{3} + x \cdot - 3$

خطوة 2.3.1.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$x \frac{d y}{d x} + y = x^{1 + 3} + x \cdot - 3$

خطوة 2.3.1.2

أضف $1$ و $3$ .

$x \frac{d y}{d x} + y = x^{4} + x \cdot - 3$

خطوة 2.3.2

انقُل $- 3$ إلى يسار $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + y = x^{4} - 3 x$

خطوة 3

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [x y] = x^{4} - 3 x$

خطوة 4

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int x^{4} - 3 x d x$

خطوة 5

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$x y = \int x^{4} - 3 x d x$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$x y = \int x^{4} d x + \int - 3 x d x$

خطوة 6.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$x y = \frac{1}{5} x^{5} + C + \int - 3 x d x$

خطوة 6.3

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 3$ خارج التكامل.

$x y = \frac{1}{5} x^{5} + C - 3 \int x d x$

خطوة 6.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$x y = \frac{1}{5} x^{5} + C - 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

خطوة 6.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1

بسّط.

$x y = \frac{1}{5} x^{5} - 3 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

خطوة 6.5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.1

اجمع $- 3$ و $\frac{1}{2}$ .

$x y = \frac{1}{5} x^{5} + \frac{- 3}{2} x^{2} + C$

خطوة 6.5.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$x y = \frac{1}{5} x^{5} - \frac{3}{2} x^{2} + C$

خطوة 7

اقسِم كل حد في $x y = \frac{1}{5} x^{5} - \frac{3}{2} x^{2} + C$ على $x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اقسِم كل حد في $x y = \frac{1}{5} x^{5} - \frac{3}{2} x^{2} + C$ على $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{1}{5} x^{5}}{x} + \frac{- \frac{3}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

خطوة 7.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{1}{5} x^{5}}{x} + \frac{- \frac{3}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

خطوة 7.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{5} x^{5}}{x} + \frac{- \frac{3}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

خطوة 7.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.1

احذِف العامل المشترك لـ $x^{5}$ و $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.1.1

أخرِج العامل $x$ من $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$y = \frac{x (\frac{1}{5} x^{4})}{x} + \frac{- \frac{3}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

خطوة 7.3.1.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.1.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$y = \frac{x (\frac{1}{5} x^{4})}{x^{1}} + \frac{- \frac{3}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

خطوة 7.3.1.1.2.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$y = \frac{x (\frac{1}{5} x^{4})}{x \cdot 1} + \frac{- \frac{3}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

خطوة 7.3.1.1.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{x (\frac{1}{5} x^{4})}{x \cdot 1} + \frac{- \frac{3}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

خطوة 7.3.1.1.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{\frac{1}{5} x^{4}}{1} + \frac{- \frac{3}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

خطوة 7.3.1.1.2.5

اقسِم $\frac{1}{5} x^{4}$ على $1$ .

$y = \frac{1}{5} x^{4} + \frac{- \frac{3}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

خطوة 7.3.1.2

اجمع $\frac{1}{5}$ و $x^{4}$ .

$y = \frac{x^{4}}{5} + \frac{- \frac{3}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

خطوة 7.3.1.3

احذِف العامل المشترك لـ $x^{2}$ و $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.3.1

أخرِج العامل $x$ من $- \frac{3}{2} x^{2}$ .

$y = \frac{x^{4}}{5} + \frac{x (- \frac{3}{2} x)}{x} + \frac{C}{x}$

خطوة 7.3.1.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.3.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$y = \frac{x^{4}}{5} + \frac{x (- \frac{3}{2} x)}{x^{1}} + \frac{C}{x}$

خطوة 7.3.1.3.2.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$y = \frac{x^{4}}{5} + \frac{x (- \frac{3}{2} x)}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

خطوة 7.3.1.3.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{x^{4}}{5} + \frac{x (- \frac{3}{2} x)}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

خطوة 7.3.1.3.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{x^{4}}{5} + \frac{- \frac{3}{2} x}{1} + \frac{C}{x}$

خطوة 7.3.1.3.2.5

اقسِم $- \frac{3}{2} x$ على $1$ .

$y = \frac{x^{4}}{5} - \frac{3}{2} x + \frac{C}{x}$

خطوة 7.3.1.4

اجمع $x$ و $\frac{3}{2}$ .

$y = \frac{x^{4}}{5} - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{C}{x}$

خطوة 7.3.1.5

انقُل $3$ إلى يسار $x$ .

$y = \frac{x^{4}}{5} - \frac{3 x}{2} + \frac{C}{x}$